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BMO-Raum

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Der BMO-Raum ist ein Objekt aus der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Abkürzung BMO steht für „{{#invoke:Vorlage:lang|flat}}“. Der Funktionenraum BMO wurde 1961 von Fritz John und Louis Nirenberg eingeführt. Dieser Raum ist ein Dualraum zum reellen Hardy-Raum <math>H^1(\R^n)</math> (Charles Fefferman, Elias Stein 1972).<ref>Angekündigt 1971 von <templatestyles src="Webarchiv/styles.css" />{{#if:20160304054253 

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            }} 
       }}
  }}. Der Aufsatz von Fefferman, Stein erschien 1972 in Acta Mathematica.</ref>

Definitionen

Sharp-Funktion

Sei <math>f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^n)</math> eine lokal integrierbare Funktion, so ist <math>f^\sharp</math> definiert durch

<math>f^\sharp(x) = \sup_{\{B|x \in B\}} \frac{1}{\mu(B)} \int_B |f(y) - f_B| \mathrm{d} \mu(y),</math>

wobei das Supremum über alle Bälle <math>B</math>, welche <math>x</math> enthalten, gebildet wird. Mit <math>f_B</math> wird das Mittelwertintegral

<math>f_B = \frac{1}{\mu(B)} \int_B f(z) \mathrm{d} \mu(z)</math>

bezeichnet. Diese Funktion ist eine Maximalfunktion.

BMO-Raum

Eine lokal integrierbare Funktion <math>f</math> heißt BMO-Funktion, falls <math>f^\sharp</math> beschränkt ist. Um eine Norm auf diesem Funktionenraum zu erhalten, identifiziert man alle konstanten Funktionen miteinander und setzt

<math>\|f\|_{\operatorname{BMO}} = \|f^\sharp\|_{L^\infty(\R^n)}.</math>

Würde man die konstanten Funktionen nicht miteinander identifizieren, so wäre <math>\|.\|_{\operatorname{BMO}}</math> nur eine Halbnorm, also nicht definit. Mit dieser Norm wird der BMO-Raum zu einem Banachraum. Beispiele für BMO-Funktionen sind alle beschränkten, messbaren Funktionen und <math>\log(|P|)</math> für ein Polynom P, welches nicht identisch null ist.

Eigenschaften

John-Nirenberg-Ungleichung

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Sei <math>f\in \operatorname{BMO}(\R^n)</math>, dann existieren für jeden Ball <math>B\in\R^n</math> zwei Konstanten <math>c_1(n),c_2(n)>0</math>, so dass

<math>\mu(\{x\in B\colon |f(x)-f_B|>t\})\leq c_1\mu(B)\exp\left(\frac{-c_2t}{\|f\|_\text{BMO}} \right)</math>

für alle <math>t>0</math>. Die Ungleichung gilt nicht in jedem BMO-Raum. Gilt sie in dem Raum, so sagt man, dass dieser Raum die John-Nirenberg-Eigenschaft besitzt.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Dualität von H1 und BMO

Charles Fefferman zeigte 1971, dass der BMO-Raum ein Dualraum von <math>H^1</math>, dem reellen Hardy-Raum mit p = 1, ist. Die Paarung zwischen <math>f \in H^1</math> und <math>g \in \operatorname{BMO}</math> ist gegeben durch

<math>T_g(f) = (f,g) = \int_{\R^n}f(x)g(x) \, \mathrm{d} x</math>.

Dann ist die Abbildung <math>\operatorname{BMO}\rightarrow (H^1)', g\mapsto T_g</math> ein Banachraum-Isomorphismus (nicht isometrisch), in diesem Sinne ist <math>\operatorname{BMO}</math> Dualraum von <math>H^1</math>.

Obiger Integralausdruck muss jedoch sorgsam definiert werden, da dieses Integral im Allgemeinen nicht absolut konvergiert. Jedoch gibt es für <math>f \in H^1</math> einen dichten Unterraum <math>H^1_a</math>, auf dem das Integral absolut konvergiert. Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach kann man dann das Funktional auf ganz <math>H^1</math> fortsetzen. Als Raum <math>H^1_a</math> kann man den Raum der H1-Funktionen mit kompaktem Träger und mit <math>\textstyle \int_{\mathbb{R^n}} f(x) \mathrm{d} x = 0</math> wählen. Dies ist genau der Unterraum, welcher eine endliche atomare Zerlegung besitzt. Eine wichtige Konsequenz, welche sich aus dem Beweis zur Dualität ergibt, ist die folgende Ungleichung, die für <math>f \in H^1</math> und <math>g \in \operatorname{BMO}</math> gilt:

<math>\int_{\R^n}f(x)g(x) \, \mathrm{d} x \leq c\int_{\R^n}M_\Phi(f)(x)\mathrm{d} x \int_{\mathbb{R}^n}g^\sharp(x) \, \mathrm{d} x = c\|f\|_{H^1(\R^n)} \|g\|_{\operatorname{BMO}}</math>.

Dabei ist <math>M_\Phi(\cdot)</math> die nicht-tangentiale Maximalfunktion.

Literatur

  • Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5

Einzelnachweise

<references />

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