Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei <math>\ (G, \cdot)</math> eine Gruppe und <math>\circ: G \times M \rightarrow M</math> eine Operation von <math>G</math> auf einer Menge <math>M</math>. Dann ist für jedes <math>x\in M</math> die Abbildung

<math>G/G_x \rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_x \mapsto g \circ x</math>

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

<math>G \circ x := \{g \circ x\ |\ g \in G\} \subseteq M</math> die Bahn von <math>x</math>,
<math>G_x := \{g \in G\ |\ g \circ x = x \} \leq G</math> den Stabilisator von <math>x</math> und
<math>G/G_x := \{g\cdot G_x \ |\ g \in G \} \subseteq \mathcal{P}(G)</math> die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe <math>G_x</math> in <math>G</math>.

Beweis

Siehe: [[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

<math>\ |G|=|G \circ x|\cdot|G_x|</math>.

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe <math>G</math> operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation <math>g \circ x := gxg^{-1}</math>. Die Bahn <math>G \circ x := \{gxg^{-1}\ |\ g \in G\}</math> eines Elements <math>x \in G</math> bezeichnet man als Konjugationsklasse von <math>x</math>. Der Stabilisator <math>G_x := \{g \in G\ |\ gxg^{-1} = x\} = \{g \in G\ |\ gx = xg\}</math> heißt Zentralisator von <math>x</math> und wird mit <math>Z_G(x)</math> bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen <math>G</math>

<math>|G| = |G \circ x| \cdot |Z_G(x)|</math>.

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe <math>G</math> auf <math>M</math> transitiv, so ist

<math>|M| = |G\circ x| = (G:G_x)</math>.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von <math>M</math> ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

Gruppenoperation
Satz von Lagrange
Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“

Literatur

Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124

Weblinks

{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Bahn (Orbit) und Bahnformel. In: MathWorld (englisch). {{#if: GroupOrbit | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | GroupOrbit | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }} (englisch)