Banachscher Abbildungssatz

Der Banachsche Abbildungssatz ist ein nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach benannter mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Mengenlehre.<ref></ref> Der Satz behandelt eine grundlegende Eigenschaft von Abbildungen. Er ist eng mit dem Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem verknüpft.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich wie folgt formulieren:<ref></ref>

Gegeben seien Mengen <math> M </math> und <math> N </math> und dazu Abbildungen

<math> {\phi}\colon\, M \to N </math> und <math> {\psi}\colon\, N \to M </math>.

Dabei sei <math>{\phi}</math> injektiv.

Dann existieren Mengen <math> M_1, M_2, N_1, N_2</math> mit

<math> M = M_1 \cup M_2</math> und <math> M_1 \cap M_2 = \emptyset</math>

sowie

<math> N = N_1 \cup N_2</math> und <math> N_1 \cap N_2 = \emptyset</math>

derart, dass gilt:

<math> {\phi}(M_1) = N_1</math> und <math> {\psi}(N_2) = M_2</math>

Verschärfung

Es lässt sich mit Hilfe des Fixpunktsatzes von Tarski und Knaster zeigen,<ref></ref> dass die Behauptung des Satzes immer noch gilt, wenn die Injektivitätsbedingung für die Abbildung <math> {\phi}\colon\, M \to N </math> fallen gelassen wird.

Der Banachsche Abbildungssatz (verschärfte Version) lautet demnach folgendermaßen:

Gegeben seien Mengen <math> M </math> und <math> N </math> und dazu Abbildungen

<math> {\phi}\colon\, M \to N </math> und <math> {\psi}\colon\, N \to M </math> .

Dann existieren Mengen <math> M_1, M_2, N_1, N_2</math> mit

<math> M = M_1 \cup M_2</math> und <math> M_1 \cap M_2 = \emptyset</math>

sowie

<math> N = N_1 \cup N_2</math> und <math> N_1 \cap N_2 = \emptyset</math>

derart, dass gilt:

<math> {\phi}(M_1) = N_1</math> und <math> {\psi}(N_2) = M_2</math>

Beweis (Verschärfung)

Betrachte die Abbildung <math> F: \mathcal P(M) \rightarrow \mathcal P(M) </math> mit <math> F(A) := M \setminus (\psi( N \setminus \phi(A))) </math>.

Da <math> F </math> monoton ist, besitzt <math> F </math> nach dem Fixpunktsatz von Tarski und Knaster einen Fixpunkt <math> M_1 </math>. Es gilt also <math> M_1 = M \setminus ( \psi( N \setminus \phi(M_1))) </math> beziehungsweise äquivalent hierzu

<math> M \setminus M_1 = \psi(N \setminus \phi(M_1)) </math>.

Wir setzen nun <math> M_2 := M\setminus M_1 </math>, <math> N_1 := \phi(M_1) </math> und <math> N_2 := N \setminus N_1 </math>.

Hiermit erhalten wir wie gewünscht <math> {\phi}(M_1) = N_1</math> und <math> {\psi}(N_2) = \psi(N\setminus \phi(M_1)) = M \setminus M_1 = M_2</math>.

Folgerung

Aus dem Banachschen Abbildungssatz folgt unmittelbar das Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem.<ref></ref><ref></ref><ref></ref>

Literatur

Artikel und Originalarbeiten

Monographien

Einzelnachweise