Bessel-Funktion

Als Bessel-Funktionen bezeichnet man Funktionen, welche Lösungen der besselschen Differentialgleichung sind, die eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Benannt sind die Funktionen und die Gleichung nach dem deutschen Mathematiker Friedrich Wilhelm Bessel. Die Bessel-Funktionen werden auch Zylinderfunktionen genannt.

Besselsche Differentialgleichung

Die Besselsche Differentialgleichung ist eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, die durch

<math>x^2 \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} + \left(x^2 - \nu^2\right)f = 0</math>

definiert ist, wobei <math>x</math> und <math>\nu</math> reelle oder komplexe Zahlen sind. Die Lösungen heißen Bessel-Funktionen <math>\nu</math>-ter Ordnung.

Entsprechend ist der Bessel-Operator ein Differentialoperator zweiter Ordnung. Er ist definiert durch

<math>B_\nu := x^2 \frac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} + \left(x^2 - \nu^2\right)\, .</math>

Mit ihm kann man die Besselsche Differentialgleichung kurz ausdrücken durch<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>B_\nu f = 0</math>

Bessel-Funktionen

Allgemein

Datei:Bessel Functions (1st Kind, n=0,1,2).svg

Die Bessel-Funktionen erster Gattung <math>J_0, J_1</math> und <math>J_2</math>

Datei:Bessel Functions (2nd Kind, n=0,1,2).svg

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung <math>Y_0, Y_1</math> und <math>Y_2</math>

Die Lösungen der Besselschen Differentialgleichung heißen Bessel-Funktionen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Physik, da die Besselsche Differentialgleichung den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer Symmetrie darstellt. Auf die Bessel-Funktionen trifft man unter anderem bei der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran oder einer Orgelpfeife, der Ausbreitung von Wasserwellen in runden Behältern, der Wärmeleitung in Stäben, der Analyse des Frequenzspektrums frequenzmodulierter Signale, der Feldverteilung im Querschnitt von Rundhohlleitern, den stationären Zuständen von Kastenpotentialen, der Leistungsverteilung in Kernreaktoren, der Intensität von Lichtbeugung an kreisförmigen Löchern sowie bei Filtern in der Elektrotechnik (Bessel-Filter). Man zählt die Bessel-Funktionen wegen ihrer vielfältigen Anwendungen in der mathematischen Physik zu den speziellen Funktionen.

Als Differentialgleichung zweiter Ableitungsordnung besitzt die Besselsche Differentialgleichung zwei linear unabhängige Lösungen. Sie lassen sich in verschiedenen Varianten beschreiben.

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Bessel-Funktionen erster Gattung: J_ν

Die Bessel-Funktion <math> J_\nu </math> erster Gattung <math>\nu</math>-ter Ordnung ist definiert als

<math>

J_\nu(x) = \sum_{r=0}^\infty \frac{(-1)^r \left(\frac{x}{2}\right)^{2r+\nu}}{\Gamma(\nu+r+1)r!} \, </math>, wobei <math>\Gamma(\cdot)</math> die Gammafunktion ist. Im Ursprung (<math>x=0</math>) sind diese Funktionen für ganzzahlige <math>\nu</math> endlich.

Für nicht-ganzzahlige <math>\nu</math> sind <math>J_\nu</math> und <math>J_{-\nu}</math> linear unabhängige Lösungen.

Für ganzzahlige <math>\nu</math> gilt die Beziehung

<math>J_{-\nu}(x) = (-1)^\nu J_\nu(x) = J_\nu(-x)\,</math>.

In diesem Fall ist die zweite unabhängige Lösung die Bessel-Funktion zweiter Gattung, die weiter unten diskutiert wird.

Integraldarstellungen

Für ganzzahlige <math>\nu</math> kann man die Bessel-Funktion erster Gattung auch als Integral darstellen:

<math>

J_{\nu}(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \bigl( \cos(\nu \,\varphi) \cos\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] + \sin(\nu \,\varphi) \sin\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] \bigr) \,\mathrm{d}\varphi </math> Mit dem Additionstheorem der Kosinusfunktion kann dann noch folgende Vereinfachung vorgenommen werden:

<math>

\begin{align} J_\nu (x) &= \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (x \sin \varphi - \nu \varphi) \,\mathrm d \varphi\\

       &= \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{\mathrm{i}\,(x \sin \varphi - \nu \varphi)} \,\mathrm d \varphi \,.

\end{align} </math> Damit ist <math>J_\nu(x)</math> der <math>\nu</math>-te Fourier-Koeffizient der Funktion <math>\varphi \mapsto e^{ix\sin \varphi}</math>.

Exemplarisch wird im Folgenden die Bessel-Funktion <math> J_0 </math> dargestellt:

<math>J_{0}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n}}{4^{n} (n!)^2} = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\pi} \cos\bigl[x\sin(y)\bigr] \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{2\cos(xz)}{\pi \sqrt{1 - z^2}} \,\mathrm{d}z</math>

Hypergeometrische Funktion

Die Bessel-Funktion erster Gattung kann durch die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

<math>J_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} \;_0F_1 (; \nu+1; -x^2/4).</math>

Dieser Ausdruck hängt mit der Entwicklung der Bessel-Funktion in Abhängigkeit zur Bessel-Clifford-Funktion zusammen.

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Bessel-Funktionen zweiter Gattung: Y_ν

Auch die Bessel-Funktionen zweiter Gattung <math>Y_\nu(x)</math> (auch Weber-Funktionen oder Neumann-Funktionen genannt) lösen die Besselsche Differentialgleichung. Eine alternative Bezeichnung ist <math>N_\nu(x)</math>. Für nicht-ganzzahlige <math>\nu</math> kann man die <math>Y_\nu(x)</math> definieren durch

<math>Y_\nu(x) = \frac{J_\nu(x) \cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}.</math>

Für ganzzahlige <math>n</math> ist die durch den Grenzübergang <math>\nu \rightarrow n</math> gebildete Funktion

<math>Y_n(x) = \lim_{\nu\to n} Y_\nu(x)</math>

weiterhin eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung.

Wie für die Bessel-Funktionen erster Gattung gilt auch für die Besselfunktionen zweiter Gattung folgende Beziehung:

<math>Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)</math>.

Nach Ausführung des Grenzüberganges mit der Regel von de L’Hospital ergibt sich

<math>Y_n(x) =\frac1{\pi}\left[{\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!\nu}J_\nu(x)\Big|_{\nu = n} + (-1)^n {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!\nu}J_\nu(x)\Big|_{\nu = -n}\right]

.</math>

Explizit findet man

<math>

Y_n(x) =\, \frac2{\pi}\left(\gamma+\ln\frac{x}2\right)J_n(x)

- \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n-k-1)!}{k!}\left(\frac{x}2\right)^{2k-n} - \frac1{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{H_k+H_{k+n}}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}2\right)^{2k+n}

</math>

für <math>n \in \mathbb{N}_0</math>. Hierbei ist <math>\gamma</math> die Euler-Mascheroni-Konstante und <math>H_n</math> die <math>n</math>-te harmonische Zahl.

Die Bessel-Funktionen zweiter Gattung haben also bei <math>x = 0</math> eine logarithmische Singularität und einen Pol <math>n</math>-ter Ordnung.

Für alle <math>\nu</math> ist neben der Bessel-Funktion erster Gattung <math>J_\nu</math> die Bessel-Funktion zweiter Gattung <math>Y_\nu</math> eine zweite, linear unabhängige Lösung.

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Bessel-Funktionen dritter Gattung: H_ν⁽¹⁾, H_ν⁽²⁾

Die Bessel-Funktionen dritter Gattung <math>H_\nu^{(1)}</math>, <math>H_\nu^{(2)}</math> (auch bekannt als Hankel-Funktionen) sind Linearkombinationen der Bessel-Funktionen erster und zweiter Gattung

<math>\begin{align}

H_\nu^{(1)}(x) &= J_\nu(x) + \mathrm i \cdot Y_\nu(x)\,,\\ H_\nu^{(2)}(x) &= J_\nu(x) - \mathrm i \cdot Y_\nu(x)\,, \end{align} </math> wobei <math>\mathrm i</math> die imaginäre Einheit bezeichnet. Auch diese beiden Funktionen sind linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung.

Eigenschaften

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

• Für die Bessel-Funktionen <math>J_\nu</math>, <math>Y_\nu</math>, <math>H_\nu^{(1)}</math> und <math>H_\nu^{(2)}</math> gelten die Rekursionsbeziehungen:

<math>\frac{\nu}{x} \Omega_\nu = \frac{1}{2}(\Omega_{\nu-1} + \Omega_{\nu+1}) </math>,

<math> \fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}\Omega_\nu = \frac{1}{2}(\Omega_{\nu-1} - \Omega_{\nu+1}) </math>.

• Für <math>x \in \R</math> gilt <math> \sum_{n=-\infty}^\infty J_n(x)^2 = 1 </math>.

• Für <math>n \in \N </math> gilt <math> \left(-\frac{1}{x}\fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}\right)^n J_0(x) = \frac{J_n(x)}{x^n} </math>.

Asymptotisches Verhalten

Seien <math>x,\nu \in \R, \nu\geq 0</math>, dann gelten für <math>0 < x \ll \sqrt{\nu+1}</math> die asymptotischen Darstellungen

<math>

\begin{align}
J_\nu(x) &\approx \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu \\
Y_\nu(x) &\approx \begin{cases}
 \frac{2}{\pi} \left( \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \gamma \right)  & \text{wenn } \nu=0 \\ \\
 -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right)^\nu & \text{wenn } \nu > 0.
\end{cases}
\end{align}

</math>

Für große Argumente <math>x\gg|\nu^2 - 1/4|</math> findet man

<math>

\begin{align}

J_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \\
Y_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

\end{align} </math>

Diese Formeln sind für <math>\nu=1/2</math> exakt. Vergleiche hierfür mit den sphärischen Besselfunktionen weiter unten.

{{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}} Modifizierte Bessel-Funktionen: I_ν, K_ν

Datei:BesselI Functions (1st Kind, n=0,1,2,3).svg

Die modifizierten Bessel-Funktionen erster Gattung für <math>I_0, I_1, I_2</math> und <math>I_3</math>

Datei:BesselK Functions (n=0,1,2,3).svg

Die modifizierten Bessel-Funktionen zweiter Gattung für <math>K_0, K_1, K_2</math> und <math>K_3</math>

Die Differentialgleichung

<math> x^2 \frac{\mathrm d^2 f}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm d f}{\mathrm dx} - (x^2 + \nu^2)f = 0 </math>

wird durch Bessel-Funktionen mit rein imaginärem Argument gelöst. Man definiert für ihre Lösung normalerweise die modifizierten Bessel-Funktionen

<math>

I_\nu(x) = i^{-\nu} J_\nu(ix)=\sum_{r=0}^\infty \frac{(\frac{x}{2})^{2r+\nu}}{\Gamma(r+\nu+1)r!}</math>

<math>

I_{\nu}(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(\nu \,\varphi) \cosh\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] - \sin(\nu \,\varphi) \sinh\bigl[x \sin(\varphi)\bigr] \,\mathrm{d}\varphi </math> und

<math>

\begin{align} K_\nu(x) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu} (x) - I_\nu (x)}{\sin (\nu \pi)} = \frac{\pi}{2} i^{\nu+1} H_\nu^{(1)}(ix)= \frac{\pi}{2} (-i)^{\nu+1} H_\nu^{(2)}(-ix). \end{align} </math> {{#invoke:Vorlage:Anker|f |errCat=Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Anker |errHide=1}}Die Funktion <math>K_\nu(x)</math> ist auch als MacDonald-Funktion bekannt. Anders als die „normalen“ Besselfunktionen weisen die modifizierten Besselfunktionen kein oszillierendes, sondern ein exponentielles Verhalten auf.

Exemplarisch wird im Folgenden Bessel-Funktionen <math> I_0 </math> dargestellt:

<math>I_{0}(x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{4^{n} (n!)^2} = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{\pi} \cosh\bigl[x\sin(y)\bigr] \,\mathrm{d}y = \int_{0}^{1} \frac{2\cosh(xz)}{\pi \sqrt{1 - z^2}} \,\mathrm{d}z</math>

Airysche Integrale

Für die Funktionen <math>K_{1/3}</math> und <math>K_{2/3}</math> kann man eine Integraldarstellung angeben

<math> \begin{align}

K_{1/3}(x) &= \sqrt{3} \int_0^\infty \cos\left(\frac{3}{2}x\left(u + \frac{u^3}{3}\right)\right) \mathrm du \\ K_{2/3}(x) &= \sqrt{3} \int_0^\infty u \sin\left(\frac{3}{2}x\left(u + \frac{u^3}{3}\right)\right) \mathrm du \end{align} </math>.

Hypergeometrische Funktion

Auch die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung kann durch eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ausgedrückt werden:

<math>I_\nu(x)=\frac{(x/2)^\nu}{\Gamma(\nu+1)} \;_0F_1 (\nu+1; x^2/4)</math>.

Beziehungen von Ordnungen einer Gattung

• Für die Bessel-Funktionen <math>K_\nu</math> und <math>I_\nu</math> gelten die Rekursionsbeziehungen:

<math>\frac{\nu}{x} K_{\nu} = - \frac{1}{2} \left(K_{\nu-1} - K_{\nu+1}\right)</math>

<math>\frac{\nu}{x} I_{\nu} = \frac{1}{2} \left(I_{\nu-1} - I_{\nu+1}\right)</math>

<math> \fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}K_\nu = - \frac{1}{2}(K_{\nu-1} + K_{\nu+1}) </math>

<math> \fracVorlage:\rm d{{\rm d}x}I_\nu = \frac{1}{2}(I_{\nu-1} + I_{\nu+1}) </math>

Asymptotisches Verhalten

Wir nehmen wieder an, dass <math>\nu</math> reell und nicht-negativ ist. Für kleine Argumente <math>0 < x \ll \sqrt{\nu+1}</math> findet man

<math>\begin{align}

I_\nu(x) &\approx \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^\nu \\ \\
K_\nu(x) &\approx \begin{cases}
 -\left( \ln \left(\frac{x}{2}\right) + \gamma \right)  & \text{wenn } \nu=0 \\ \\
 \frac{\Gamma(\nu)}{2} \left( \frac{2}{x} \right)^\nu & \text{wenn } \nu > 0 \, .
\end{cases}

\end{align}</math>

Für große Argumente <math>x\gg|\nu^2 - 1/4|</math> erhält man

<math>\begin{align}

I_\nu(x) &\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi x}} e^x \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)\right) \\ \\
K_\nu(x) &\approx \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} e^{-x} \left(1+\mathcal{O}\left(\frac{1}{x}\right)\right) \, .

\end{align}</math>

Sphärische Besselfunktionen: j_μ, y_μ, h_μ^(1,2)

Die Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten führt nach Separation der Variablen auf die Radialgleichung

<math>x^2 \frac{\mathrm d^2 f_\mu(x)}{\mathrm dx^2} + 2x \frac{\mathrm df_\mu(x)}{\mathrm dx} + [x^2 - \mu(\mu+1)]f_\mu(x) = 0</math>.

Nach der Substitution

<math>f_\mu(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} u_\mu(x)</math>

erhält man die Besselsche Differentialgleichung <math>(\nu=\mu+1/2)</math>

<math>x^2 \frac{\mathrm d^2 u_\mu(x)}{\mathrm dx^2} + x \frac{\mathrm du_\mu(x)}{\mathrm dx} + \left[x^2 - \left(\mu+\frac{1}{2}\right)^2\right]u_\mu(x) = 0</math>.

Für die Lösung <math>f_\mu(x)</math> der Radialgleichung werden üblicherweise die sphärischen Bessel-Funktionen <math>j_\mu(x)</math>, die sphärischen Neumann-Funktionen <math>y_\mu(x)=n_\mu(x)</math> und die sphärischen Hankel-Funktionen <math>h_\mu^{(1,2)}(x)</math> definiert:

<math>\begin{align}

& j_\mu(x) \quad = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\mu+1/2}(x) \\ & y_\mu(x) \quad = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} Y_{\mu+1/2}(x) \\ & h_\mu^{(1,2)}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} H_{\mu+1/2}^{(1,2)} = j_\mu(x)\pm i y_\mu(x) \end{align} </math>.

Es gelten die alternativen Darstellungen für <math>m \in \N </math>

<math>\begin{align}

& j_m(x) \quad = (-x)^m \left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \ \frac{\sin x}{x}\\ & y_m(x) \quad = -(-x)^m \left(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \ \frac{\cos x}{x} \\ & h_m^{(1,2)} (x) = \mp i (-x)^m \left(\frac{1}{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^m \frac{e^{\pm i x}}{x}\\ \end{align} </math>

Die sphärischen Bessel- und Hankelfunktionen werden beispielsweise für die Behandlung des kugelsymmetrischen Potentialtopfs in der Quantenmechanik benötigt.

Eigenschaften

• Für die sphärischen Bessel-Funktionen <math>j_\mu</math>, <math>y_\mu</math>, <math>h_\mu^{(1)}</math> und <math>h_\mu^{(2)}</math> gelten die Rekursionsbeziehungen:

<math>\begin{align}

& \frac{2\mu+1}{x} \omega_\mu(x) \; \, = \omega_{\mu-1}(x) + \omega_{\mu+1}(x) \\ & (2\mu+1)\omega'_\mu(x) \, = \mu\omega_{\mu-1}(x)-(\mu+1)\omega_{\mu+1}(x) \\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x \omega_\mu(x)) \quad = x\omega_{\mu-1}(x) - \mu \omega_\mu(x) \end{align}</math>.

• Für die Wronski-Determinante gilt

<math> W(j_\mu, y_\mu) = \frac{1}{i} W(j_\mu,h_\mu^{(1)}) = - W(y_\mu, h_\mu^{(1)}) = \frac{1}{x^2} </math>.

Hankel-Transformation

{{#if: Hankel-Transformation|{{#ifexist:Hankel-Transformation|

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Die Hankel-Transformation ist eine Integraltransformation, die eng mit der Fourier-Transformation verwandt ist. Der Integralkern der Hankel-Transformation ist die Bessel-Funktion erster Gattung <math>J_n</math>, das heißt, der Integraloperator lautet:

<math>H_n[f](s) = \int_0^\infty J_n(t s) t f(t) \mathrm{d} t</math>.

Eine besondere Eigenschaft der Hankel-Transformation ist, dass mit ihr der Bessel-Operator in einen algebraischen Ausdruck (eine Multiplikation) überführt werden kann.

Geschichte

Bessel-Funktionen wurden von Bessel 1824 ausführlich behandelt,<ref>Friedrich Wilhelm Bessel: Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht. In: Abhandlungen der Berliner Akademie der Wissenschaften 1824, Math. Classe, S. 1–52, Berlin 1826.</ref> tauchten aber auch schon vorher bei speziellen physikalischen Problemen auf, zum Beispiel bei Daniel Bernoulli (Schwingung schwerer Ketten 1738), Leonhard Euler (Membranschwingung 1764), in der Himmelsmechanik bei Joseph-Louis Lagrange (1770) und bei Pierre-Simon Laplace, in der Wärmeleitung bei Joseph Fourier (Wärmeausbreitung im Zylinder 1822) und Siméon Denis Poisson (1823).<ref>Jacques Dutka: On the early history of Bessel functions. In: Archive for History of Exact Sciences. Band 49, 1995, S. 105–134.</ref><ref>G. N. Watson: Theory of Bessel Functions. Cambridge University Press, 1944, Kapitel 1 (zur Geschichte).</ref>

Literatur

• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972, S. 355.
• J. H. Graf, E. Gubler: Einleitung in die Theorie der Bessel’schen Funktionen. Erster Band Zweiter Band. K. J. Wyss, Bern 1900
• Carl Gottfried Neumann: Theorie der Besselschen Funktionen, ein Analogon zur Theorie der Kugelfunktionen. B. G. Teubner, Leipzig 1867.
• Paul Schafheitlin Die Theorie der Besselschen Funktionen. B. G. Teubner, Leipzig 1908.
• G. N. Watson A Treatise on the Theory of Bessel functions, Cambridge University Press 1922, 1944, Archive

Besselfunktionen werden in vielen Lehrbüchern der Theoretischen Physik behandelt z. B.:

• John David Jackson: Classical Electrodynamics. John Wiley, New York NY 1962 (3. edition. ebenda 1999, ISBN 0-471-30932-X; deutsch: 4. überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-11-018970-4).
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen, 6. Auflage, Springer-Lehrbuch, 2006, ISBN 978-3-540-26035-6
• Arnold Sommerfeld Vorlesungen über Theoretische Physik, Band 6: Partielle Differentialgleichungen der Physik, Harri Deutsch 1992, ISBN 3-87144-379-4.

Einzelnachweise

<references />

Weblinks

• {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Bessel Differential Equation. In: MathWorld (englisch). {{#if: BesselDifferentialEquation | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | BesselDifferentialEquation | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}