Besselsche Interpolationsformel

Die Besselsche Interpolationsformel gehört zu den Interpolationsformeln mit äquidistanten Stützstellen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Funktionen als Polynome n-ten Grades darstellen. n bestimmt sich aus den (n+1) Stützstellen. Sie wurde nach Friedrich Wilhelm Bessel, ihrem Urheber, benannt.

Differenzentabelle

Zuerst erstellt man eine sogenannte Differenzentabelle, in der die Interpolationspunkte <math>x_i</math> in gleichen Abständen aufeinander folgen. Dieser Abstand h berechnet sich nach <math>h=x_{i+1}-x_i</math>. <math>x_0</math> liegt in der Mitte der Stützpunkte. Die Differenzen berechnen sich nun wie folgt: <math>\Delta f_i=f_{1+i}-f_i</math>, alle weiteren analog dazu <math>\Delta^kf_i=\Delta^{k-1}f_{i+1}-\Delta^{k-1}f_i</math>.

Die Formel

Die Berechnung des Polynoms <math>\varphi</math> erfolgt dann mit der Formel:

<math>\varphi=f_0+u\Delta f_0+\frac{u(u-1)}{2}\cdot\frac{\Delta^2f_{-1}+\Delta^2f_0}{2}+\frac{u(u-1)(u-0,5)}{3!}\cdot\Delta^3f_{-1}</math> <math>+\frac{u(u^2-1)(u-2)}{4!}\cdot\frac{\Delta^4f_{-2}+\Delta^4f_{-1}}{2}+...</math> <math>...+\frac{(u-0,5)u(u^2-1)...(u^2-(n-1)^2)(u-n)}{(2n+1)!}\cdot\Delta^{2n+1}f_{-1}</math>

mit <math>u=\frac{x-x_0}{h}</math>.