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Bieberbachsche Vermutung

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Die bieberbachsche Vermutung ist ein mathematischer Satz im Gebiet der komplexen Analysis über analytische Funktionen. Sie wurde im Jahr 1916 von Ludwig Bieberbach als Vermutung aufgestellt und im Jahr 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen und wird seitdem auch als Satz von de Branges bezeichnet.

Formulierung

Die bieberbachsche Vermutung besagt, dass für eine analytische und injektive Funktion (sog. schlichte Funktion)

<math>f\colon \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{C}</math> mit <math>f(z) = z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \ldots</math>,

wobei <math>\mathbb{D}</math> die Einheitskreisscheibe bezeichnet, stets

<math> \left| a_n \right| \leq n </math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> gilt.

Geschichte

Bieberbach bewies <math>| a_2 | \leq 2</math>. Charles Loewner (1917)<ref>Löwner, Untersuchungen über die Verzerrung bei konformen Abbildungen des Einheitskreises <math>|z| <1</math>, die durch Funktionen mit nichtverschwindender Ableitung geliefert werden, Sitzungsberichte Gesellschaft der Wiss. Leipzig, Band 69, 1917, S. 89–106</ref> und Rolf Nevanlinna (1921)<ref>Nevanlinna, Über die konforme Abbildung von Sterngebieten, Översikt av Finska Vetenskps-Soc. Förh., Band 63 (A), Nr. 6, 1920/21, S. 1–21</ref> bewiesen die Vermutung unabhängig für sternartige Funktionen. Das sind schlichte Funktionen <math>h (z)</math> in der Einheitskreisscheibe mit <math>h(0)=0</math>, <math> \textstyle\frac {dh}{dz} (0)= h' (0)=1</math>, deren Bild ein Sterngebiet ist, was äquivalent dazu ist, dass sie das Nevanlinna-Kriterium erfüllen (<math>\textstyle k(z)=z \frac {h' (z)}{h(z)}</math> hat positiven Realteil für <math>| z | <1</math> und <math>k(0)=1</math>). 1923 bewies Loewner mit der Loewner-Gleichung, dass <math>|a_3| \leq 3</math>. Auch spätere Arbeiten benutzten meist die Methode von Loewner (die auch bei der Schramm-Löwner-Evolution eine wichtige Rolle spielt). John Edensor Littlewood bewies 1925<ref>Littlewood, On inequalities in the theory of functions, Proc. London Math. Soc., Band 23, 1925, S. 481–519</ref> eine obere Schranke <math>|a_n| \leq n \cdot e</math> mit <math>e =2{,}718 \ldots</math>, der Eulerschen Zahl. Die Schranke wurde später verbessert (Milin (1965),<ref>Milin, Estimation of coefficients of univalent functions, Soviet Math. Dokl., Band 6, 1965, S. 196–198</ref> <math>|a_n| \leq n \cdot 1{,}243</math>). Paul Garabedian und Max Schiffer erledigten den Fall <math>n=4</math> (1955),<ref>R. Garabedian, M. Schiffer, A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Fourth Coefficient, J. Rational Mech. Anal., Band 4, 1955, S. 427–465</ref> Pedersen und Schiffer <math>n=5</math> (1972)<ref>Pedersen, Schiffer, A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Fifth Coefficient, Arch. Rational Mech. Anal., Band 45, 1972, S. 161–193</ref> und Pedersen (1968)<ref>Pedersen, A Proof of the Bieberbach Conjecture for the Sixth Coefficient, Arch. Rational Mech. Anal., Band 31, 1968/69, S. 331–351</ref> und Ozawa (1969)<ref>Ozawa, On the Bieberbach Conjecture for the Sixth Coefficient, Kodai Math. Sem. Rep., Band 21, 1969, S. 97–128</ref> unabhängig <math>n=6</math>. Walter Hayman erzielte asymptotische Resultate. Er zeigte, dass <math>\textstyle a= \lim_{n\to\infty} | \frac {a_n}{n} | </math> existiert und <math> a <1</math> außer bei einer Koebefunktion. Außerdem zeigte er, dass für jede Funktion in der Bieberbachvermutung höchstens endlich viele Ausnahmen existieren.<ref>W. K. Hayman, F. M. Stewart: Real Inequalities with Applications to Function Theory. Proc. Cambridge Phil. Soc., Band 50, 1954, S. 250–260</ref> Louis de Branges bewies schließlich 1984 die Bieberbach-Vermutung über eine Vermutung von Isaak Moissejewitsch Milin, und die Leningrader Funktionentheorie-Schule von Milin spielte auch die ausschlaggebende Rolle in der Verifikation von de Branges Beweis (unter anderem Galina Wassiljewna Kusmina, Arcadii Z. Grinshpan). Der ursprüngliche Beweis von De Branges benutzte Funktionalanalysis (aber auch zum Beispiel die Löwner-Gleichung) und die russischen Mathematiker suchten einen Beweis ohne Funktionalanalysis nur mit Methoden der geometrischen Funktionentheorie, von dem sie dann auch De Branges für eine Veröffentlichung überzeugten.

De Branges bewies eine von I. M. Milin 1971 vermutete Ungleichung (die wiederum auf Ungleichungen von Milin und Lebedew von 1967 aufbaut),<ref>Milin, Univalent functions and orthonormal systems, American Mathematical Society 1977, russisches Original Moskau: Nauka 1971.</ref> aus der nach Milin eine Vermutung von M. S. Robertson (1936)<ref>Robertson, On the theory of univalent functions, Annals of Mathematics, Band 37, 1936, S. 374–408</ref> folgt, die wiederum die Bieberbachsche Vermutung zur Folge hat.

Ein alternativer Beweis der Milin-Vermutung stammt von L. Weinstein.<ref>L. Weinstein, The Bieberbach Conjecture, Internat. Math. Res. Notes, Band 5, 1991, S. 61–64</ref>

Originalarbeiten

Literatur

  • P. Duren, D. Drasin, A. Bernstein, A. Marden: The Bieberbach Conjecture: Proceedings of the Symposium on the Occasion of the Proof. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1986.
  • S. Gong: The Bieberbach Conjecture. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1999.
  • Christian Pommerenke The Bieberbach Conjecture, Mathematical Intelligencer Bd. 7, 1985, S. 23
  • O. M. Fomenko, G. V. Kuzmina: The last 100 days of the Bieberbach conjecture, Mathematical Intelligencer, Bd. 8, 1986, Nr. 1
  • J. Korevaar: Ludwig Bieberbach's conjecture and its proof by Louis de Branges, The American Mathematical Monthly, Band 93, 1986, S. 505–514, pdf
  • Paul Zorn The Bieberbach Conjecture, Mathematics Magazine, Band 59, 1986, S. 131–148

Weblinks

Einzelnachweise

<references />

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