Binary Symmetric Channel

Schema eines BSC

Ein binärer symmetrischer Kanal (englisch binary symmetric channel, kurz BSC) ist ein informationstheoretischer Kanal, bei dem die Wahrscheinlichkeit einer Falschübermittlung (auch Fehlerwahrscheinlichkeit) von 1 genau so hoch ist wie die Wahrscheinlichkeit der Falschübermittlung einer 0. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 empfangen wurde, falls eine 0 gesendet wurde und umgekehrt, beträgt die Wahrscheinlichkeit <math>p</math>. Für die verbleibenden Fälle, also der korrekten Übermittlung, ergibt sich damit eine Wahrscheinlichkeit von jeweils <math>1-p</math>:

<math>\begin{align}

\operatorname {Pr} [ Y = 0 | X = 0 ] &= 1 - p \\ \operatorname {Pr} [ Y = 0 | X = 1 ] &= p \\ \operatorname {Pr} [ Y = 1 | X = 0 ] &= p \\ \operatorname {Pr} [ Y = 1 | X = 1 ] &= 1 - p \end{align}</math>

Dabei gilt <math>0 \le p \le 1/2</math>, denn falls <math>p > 1/2</math> wäre, könnte der Empfänger alle empfangenen Bits invertieren und würde damit einen äquivalenten Kanal mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von <math>1 - p \le 1/2</math> erhalten.

Kapazität

Die Kanalkapazität des binären symmetrischen Kanals ist

<math>\ C_{\text{BSC}} = 1 - \operatorname H_\text{b}(p), </math>

wobei <math>\operatorname H_\text{b}(p)</math> die Entropie der Bernoulli-Verteilung mit Wahrscheinlichkeit <math>p</math> ist:

<math>\operatorname H_\text{b}(p) = -p\log_2(p)-(1-p)\log_2(1-p)</math>

Beweis: Die Kapazität ist definiert als die maximale Transinformation zwischen Eingang <math>X</math> und Ausgang <math>Y</math> für alle möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen am Eingang <math>p_X(x)</math>:

<math> C = \max_{p_X(x)} \left \{\, I(X;Y)\, \right \} </math>

Die Transinformation kann umformuliert werden zu

<math>\begin{align}

I(X;Y) &= H(Y) - H(Y|X) \\

      &= H(Y) - \sum_{x \in \{0,1\} }{p_X(x) H(Y|X=x)} \\
      &= H(Y) - \sum_{x \in \{0,1\} }{p_X(x)} \operatorname H_\text{b}(p) \\
      &= H(Y) - \operatorname H_\text{b}(p),

\end{align}</math>

wobei die ersten beiden Schritte aus der Definition von Transinformation bzw. der bedingten Entropie folgen. Die Entropie am Ausgang, bei gegebenem und festem Eingangsbit (<math>H(Y|X=x)</math>) gleicht der Entropie der Bernoulli-Verteilung, was zur dritten Zeile führt, welche weiter vereinfacht werden kann.

In der letzten Zeile ist nur der erste Term <math>H(Y)</math> von der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang <math>p_X(x)</math> abhängig. Außerdem ist von der Entropie einer binären Zufallsvariable bekannt, dass diese ihr Maximum von 1 bei einer Gleichverteilung besitzt. Die Gleichverteilung am Ausgang kann, bedingt durch die Symmetrie des Kanals, nur erreicht werden, wenn auch eine Gleichverteilung am Eingang vorliegt. Damit erhält man <math>C_{\text{BSC}}=1-\operatorname H_\text{b}(p)</math>.<ref>Thomas M. Cover, Joy A. Thomas: Elements of information theory, S. 187, 2. Auflage, New York: Wiley-Interscience, 2006, ISBN 978-0471241959.</ref>

Siehe auch

Binärer Auslöschungskanal

Literatur

Bernd Friedrichs: Kanalcodierung. Grundlagen und Anwendungen in modernen Kommunikationssystemen. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1995, ISBN 3-540-59353-5.
Werner Lütkebohmert: Codierungstheorie. Algebraisch-geometrische Grundlagen und Algorithmen. Vieweg Verlag, Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-03197-2 (Vieweg-Studium – Aufbaukurs Mathematik).
Rudolf Mathar: Informationstheorie. Diskrete Modelle und Verfahren. B.G. Teubner Verlag, Stuttgart 1996, ISBN 3-519-02574-4.

Einzelnachweise

Weblinks

Vorlesungsskript Kanalcodierung I (abgerufen am 22. Januar 2018)
Kanalcodierung (abgerufen am 22. Januar 2018)
SKRIPTUM zur Lehrveranstaltung INFORMATIONSTHEORIE (abgerufen am 22. Januar 2018)