Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen sind nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.<ref>Jürgen Bortz: Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler. 6. Auflage. Springer, 2005, S. 129. </ref>

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.<ref>Vorlage:EoM/id</ref>

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien <math>E_i</math> beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})</math>. Es bezeichne <math>\mathbb{P}(E_i)</math> die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses <math>E_i</math> und <math>\bigcup_{i=1}^nE_i</math> die Vereinigungsmenge der Ereignisse <math>E_1,\dots,E_n</math>. Bekannterweise gilt:

<math>

\mathbb{P}\left(E_1 \bigcup E_2\right)=\mathbb{P}\left(E_1\right)+\mathbb{P}\left(E_2\right)-\mathbb{P}\left(E_1 \bigcap E_2\right) \leq \mathbb{P}\left(E_1\right)+\mathbb{P}\left(E_2\right)</math>

Allgemeiner gilt:

<math>

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^nE_i \right) \leq \sum_{i=1}^n \mathbb{P}\left(E_i\right) </math>. Es gilt auch allgemeiner:

<math>

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^\infty E_i \right) \leq \sum_{i=1}^\infty \mathbb{P}\left(E_i\right) </math> Diese Ungleichungen werden auch nach George Boole als Boolesche Ungleichungen bezeichnet.

Beweis

Setzt man

<math>A_i = E_i \setminus \left(\bigcup_{j=1}^{i-1} E_j\right),</math>

dann sind die <math>A_i</math> paarweise disjunkt und es gilt

<math>\bigcup_i A_i = \bigcup_i E_i.</math>

Damit folgt

<math>\mathbb{P}\left(\bigcup_i E_i\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_i A_i\right) = \sum_i \mathbb{P}(A_i) \leq \sum_i \mathbb{P}(E_i).</math>

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen <math>A_i \subseteq E_i</math> und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.<ref>Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7. S. 15.</ref>

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder <math>E_i</math> beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum <math>(\Omega, \mathcal{A},\mathbb{P})</math>. Ferner bezeichne <math> \overline{E_i} = \Omega \setminus E_i</math> das Komplement von <math> E_i </math>. Dann folgt:

<math>

\mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^nE_i\right) \geq 1-\sum_{i=1}^n \mathbb{P}\left(\overline{E_i}\right) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}\left(E_i\right)-(n-1) </math>

Dritte Ungleichung

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch bonferronische Ungleichung () genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):<ref>Rosen et al: Handbook ... S. 433. </ref>

<math>

\mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^n {E_i} \right) \geq \sum_{i=1}^n \mathbb{P} \left( E_i \right) - \sum_{ i,j=1, \ldots , n \atop \; \text{mit} \; i < j} \mathbb{P}\left( {E_i \cap E_j} \right) </math>

Beispiele

• Es ist <math>\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}</math> die Menge der Ergebnisse eines einzelnen Würfelwurfs. Bezeichne <math>E_1=\{2,4,6\}</math> das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und <math>E_2=\{5,6\}</math> das Ereignis, dass die geworfene Zahl mindestens gleich 5 ist. Offensichtlich gilt <math>\mathbb{P}(E_1) = \frac{1}{2}</math> und <math>\mathbb{P}(E_2) = \frac{1}{3}</math>. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln, also <math>E =\{2,4,5,6\}</math>,

<math>

\mathbb{P} \left( E_1 \cup E_2 \right) \leq \mathbb{P} \left( E_1 \right) + \mathbb{P} \left( E_2 \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} . </math>

• Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln, also <math>E_3=\{6\}</math>:

<math>

\mathbb{P} \left( E_1 \cap E_2 \right) \geq 1 - \mathbb{P} \left( \overline{E_1} \right) - \mathbb{P} \left( \overline{E_2} \right) = 1 - \left(1-\frac{1}{2}\right) - \left(1-\frac{1}{3}\right) = - \frac{1}{6} </math>

Das Ergebnis liefert keine brauchbare Aussage, da ohnehin jede Wahrscheinlichkeit größer oder gleich Null ist.

Jedoch folgt für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln, also <math>E =\{2,4\}</math>,

<math>

\mathbb{P} \left( E_1 \cap \overline{E_2} \right) \geq 1 - \mathbb{P} \left( \overline{E_1} \right) - \mathbb{P} \left( E_2 \right) = 1 - \left(1-\frac{1}{2}\right) - \left(1-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} . </math>

Siehe auch

• Prinzip von Inklusion und Exklusion

Literatur

• Frank B. Alt: Bonferroni Inequalities and Intervals. In: Samuel Kotz et al. (Hrsg.): Encyclopedia of Statistical Sciences. 2. Auflage. Band 1. Wiley, New York 2006, ISBN 978-0-471-15044-2, S. 617–622, doi:10.1002/0471667196. 
• János Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u. a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
• Vorlage:EoM/id
• Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1. 

Einzelnachweise

<references />