Brillouin-Funktion
für verschiedene Werte von J
Die Brillouin-Funktion <math>B(x)</math> (nach dem französisch-amerikanischen Physiker Léon Brillouin (1889–1969)) ist eine spezielle Funktion, die aus der quantenmechanischen Beschreibung eines Paramagneten hervorgeht:
- <math>\begin{alignat}{2}
B_J(x) & = \frac{2J + 1}{2J} \cdot \coth \left( \frac{2J + 1}{2J} \, x \right) &&- \frac 1{2J} \cdot \coth \left( \frac{1}{2J} \, x \right)\\
& = \left( 1 + \frac{1}{2J} \right) \cdot \coth \left[ \left( 1 + \frac{1}{2J} \right) x \right] &&- \frac 1{2J} \cdot \coth \left( \frac{1}{2J} \, x \right)
\end{alignat}</math>
Die Formelzeichen stehen für folgende Größen:
- <math>J</math> in der physikalischen Anwendung für die Gesamtdrehimpulsquantenzahl
- <math>\coth</math> für den Kotangens hyperbolicus.
Verwendung
Mit der Brillouin-Funktion kann die Magnetisierung <math>M</math> eines Paramagneten der Stoffmenge <math>N</math> in einem äußeren Magnetfeld formuliert werden:
- <math>\begin{align}
M &= N m B_J(\xi)\\ \Leftrightarrow B_J(\xi) &= \frac{M}{N m}. \end{align}</math>
mit
- dem magnetischen Moment <math>m</math> eines Teilchens
- dem Parameter <math>\xi = \frac{m B}{k_\mathrm B \, T} = \frac{g \mu_\mathrm B \, J B}{k_\mathrm B \, T}</math>
- dem Betrag <math>B</math> der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes
- der Boltzmann-Konstante <math>k_\mathrm B</math>
- der absoluten Temperatur <math>T</math>
- dem Landé-Faktor <math>g</math>
- dem Bohrschen Magneton <math>\mu_\mathrm B</math>.
Eine weitere, halb-klassische Beschreibung eines Paramagneten geschieht mit Hilfe der Langevin-Funktion <math>L</math>, die sich im Limes <math>J \to \infty</math> und zugleich <math>g \mu_\mathrm B \to 0</math> aus der Brillouin-Funktion ergibt (wobei das magnetische Gesamtmoment konstant bleibt):
- <math>\begin{align}
M &= N m L(\xi)\\
\Leftrightarrow L(\xi) &= \frac{M}{N m}. \end{align}</math>
Literatur
- Torsten Fließbach: Statistische Physik – Lehrbuch zur Theoretischen Physik IV. Elsevier-Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2006.