Cesàro-Kurve
Bei der Cesàro-Kurve handelt es sich um ein strikt selbstähnliches Fraktal, das um 1905 von Ernesto Cesàro beschrieben wurde. Sie stellt eine Verallgemeinerung der bekannten Koch-Kurve dar. Der Initiator ist wie dort ebenfalls die Einheitsstrecke, jedoch wird der Basiswinkel des von der Kurve umschlossenen gleichschenkligen Dreiecks, der bei der Koch-Kurve θ = 60° beträgt, variabel im Bereich von θ = 0° bis θ = 90°. Somit ergibt sich die Cesàro-Kurve als eine Kurvenschar mit dem Parameter θ.
Verschiedene Cesàro-Kurven
In Abhängigkeit vom Parameter θ ergeben sich sehr unterschiedliche Kurven. Für θ = 0° erhält man die Einheitsstrecke, da es zu keiner Längenzunahme kommt. Mit zunehmendem θ wirkt die Kurve rauer und zerklüfteter, da ihre fraktale Dimension von 1 bei θ = 0° bis auf 2 bei 90° steigt, wo die Kurve schließlich ein gleichschenkliges Dreieck mit der Fläche 1/4 ausfüllt. In diesem Fall handelt es sich daher um eine fraktale Füllkurve.
Die fraktale Dimension lässt sich anhand der folgenden Formel bestimmen:
<math>D_{Ces\grave{a}ro}(\theta)=\frac{\log\,4}{\log\,(2(1+\cos\theta))}\,\, </math>
Die Fläche unterhalb der Cesàro-Kurve
Die Fläche „unterhalb“ der Kurve (also zwischen Kurve und Initiator) ergibt sich als Funktion einer Reihe über den Parameter <math>\theta</math>:<ref>Grundlagen der fraktalen Geometrie mit iterierten Funktionensystemen (IFS), A. Jablonski, (Online)</ref>
<math>A_{Ces\grave{a}ro}\,(\theta)=\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta\cdot\sum_{n=0}^{\infty}4^{n}\left(\left(\frac{1}{4(1+\cos\theta)^{2}}\right)^{n+1}\right) = \frac{\sin(\theta)}{4(2+\cos(\theta))};\,0^\circ\leq\theta\leq90^\circ</math>
Dabei steigt die Fläche von <math>A = 0</math> bei <math>\theta = 0^\circ</math> bis auf <math>A\approx0{,}125</math> bei <math>\theta = 90^\circ</math> an.
Einzelnachweise
<references />
Literatur
- Benoît B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkhäuser, ISBN 3-7643-2646-8