<math>C</math> ist multivariate Verteilungsfunktion, das heißt
<math>\forall u \in [0,1]^n\colon\min\{u_1,\dotsc,u_n\}=0\implies C(u)=0</math>,
<math>C</math> ist <math>n</math>-steigend, das heißt, für jedes Hyperrechteck <math>R=\prod_{i=1}^{n}[x_i,y_i]\subseteq [0,1]^n</math> ist das <math>C</math>-Volumen nicht negativ: <math> V_{C}\left( R\right):=\sum_{\mathbf z\in \prod_{i=1}^{n}\{x_i,y_i\}} (-1)^{N(\mathbf z)} C(\mathbf z)\ge 0</math>, wobei <math>N(\mathbf z):=|\{k\mid z_k=x_k\}|</math>,
Die eindimensionalen Randverteilungen von <math>C</math> sind uniform auf dem Einheitsintervall: <math>\forall j\in\{1,\dotsc,n\} \forall u=(u_1, \dotsc, u_n)\in \{1\}^{j-1}\times[0,1]\times\{1\}^{n-j}\colon C(u)=u_j</math>.
Die Forderung an die Randverteilungen lässt sich wie folgt motivieren:
Für <math>n \in \N</math> beliebig verteilte Zufallsvariablen <math>X_1,X_2,\dotsc,X_n</math> mit stetigen Verteilungsfunktionen <math>F_{X_i}</math> (<math>i\in\{1,2,\dotsc,n\}</math>) ist die Zufallsvariable <math>F_{X_i}(X_i)</math> gleichverteilt über dem Intervall <math>[0,1]</math>.
Zusammen mit dem folgenden Satz von Sklar wird die Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeiten unter diesen möglich.
Satz von Sklar
Im Folgenden sei <math>\overline{\R}:=\R \cup \{-\infty, +\infty \}</math> eine Erweiterung der reellen Zahlen.
Sei <math>F \colon {\overline{\R}}^n \rightarrow [0,1]</math> eine <math>n</math>-dimensionale Verteilungsfunktion (multivariate Verteilungsfunktion) mit eindimensionalen Randverteilungen <math>F_1, \dotsc, F_n \colon \overline{\R} \rightarrow [0,1]</math>. Dann existiert eine <math>n</math>-dimensionale Copula <math>C</math>, sodass für alle <math>(x_1, \dotsc, x_n) \in {\overline{\R}}^n\ </math> gilt:
Die obere Schranke <math>M</math> ist selbst eine Copula, die untere Schranke <math>W</math> hingegen nur für <math>n = 2</math>.
Anwendung
Copulae werden eingesetzt, um Rückschlüsse auf die Art der stochastischen Abhängigkeit verschiedener Zufallsvariablen zu erzielen oder um Abhängigkeiten gezielt zu modellieren. Sie werden beispielsweise in der Kreditrisikoanalyse eingesetzt, um Aussagen über einen gehäuften Bankrott mehrerer Schuldner innerhalb eines Anleihenportfolios machen zu können.
Analog sind Anwendungen im Versicherungsbereich üblich. Dort stellen gehäuft auftretende Schäden verschiedener Schadenarten ein finanzielles Problem dar. Beispiel hierfür ist ein zu beobachtender Zusammenhang zwischen Sturm- und Hochwasserschäden. Eine weitere zentrale Anwendung im Bereich der Finanzmathematik ist die Modellierung von operationellen Risiken und die Modellierung der Abhängigkeiten zwischen den Risikoarten (Kredit- und Marktrisiko, Versicherungsrisiko und Kreditrisiko etc.).
Beispiele für Copulae
Die empirische Copula wird aus den Daten geschätzt
Die einfachste Form der Copula ist die Unabhängigkeitscopula (Produktcopula)
Sie steht für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen <math>U_1, \ldots, U_n</math>, die gemäß der Copula C verteilt sind. In Zeichen: <math>(U_1,\ldots,U_n) \sim C</math>
eine Copula, wobei <math>F_2(\cdot, \cdot,\rho)</math> die bivariate Verteilungsfunktion zweier standard-normalverteilter Zufallsvariablen mit dem Korrelationskoeffizienten <math>\rho</math> ist.
Erzeugt man Punkte, die gemäß der Normal-Copula mit Parameter <math>\rho = 0{,}5</math> verteilt sind, ergibt sich bereits eine leichte Konzentration dieser entlang der Winkelhalbierenden. Datei:Normal05simulation1500.pngSimulation der bivariaten Normal-Copula, <math>\rho = 0{,}5</math>, 1500 Punkte
wobei <math>\lambda \ge 1 </math> als Parameter fest zu wählen ist.
Erzeugt man Punkte, die gemäß der Gumbel-Copula mit Parameter <math>\lambda > 1</math> verteilt sind, ergibt sich insbesondere eine Punkthäufung in der Nähe des Punktes <math>(1,1)</math>. Datei:Gumbel20simulation1500.pngSimulation der bivariaten Gumbel-Copula, <math>\lambda = 2</math>, 1500 Punkte
Archimedische Copulae
Archimedische Copulae stellen eine Klasse von Copulae dar. Diese lassen sich wie folgt beschreiben:
Sei <math>\varphi\colon [0,1] \rightarrow [0,\infty]</math> eine stetige, streng monoton fallende Funktion mit <math>\varphi(1)=0</math>. Bezeichne <math>\varphi^{[-1]} \colon [0,\infty] \rightarrow [0,1]\ </math> die Pseudo-Inverse von <math>\varphi</math>, d. h.
Die Funktion <math>C</math> ist genau dann eine Copula, wenn <math>\varphi</math> konvex ist. In diesem Fall heißt <math>\varphi</math> Erzeuger oder Generator der Copula. Offensichtlich ist <math>C</math> symmetrisch, d. h. <math>C(u,v) = C(v,u)</math> für alle <math>u,v \in [0,1]</math>.
Beispiele für archimedische Copulae sind:
Gumbel-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion <math>\varphi(t) = (-\ln t)^{\lambda}</math> mit Parameter <math>\lambda \geq 1</math>.
Damit ergibt sich <math>\varphi^{[-1]}(t) = \exp\left(-t^{\frac{1}{\lambda}}\right)</math> und damit die Gumbel-Copula <math>C_{\lambda}(u,v)</math> wie oben.
Clayton-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion <math>\varphi(t) = \frac{1}{\Theta} \left( t^{-\Theta} - 1 \right) </math> mit Parameter <math>\Theta > 0</math>.
Damit ist <math>\varphi^{[-1]}(t) = \left( \Theta \cdot t + 1 \right)^{-\frac{1}{\Theta}}</math> und die bivariate Clayton-Copula ergibt sich zu:
Frank-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion <math>\varphi(t) = -\ln \left( \frac{e^{-\Theta \cdot t}-1}{e^{-\Theta}-1} \right)</math> mit Parameter <math>\Theta > 0</math>.
Archimedische Copulae werden oft angewandt, da es sehr einfach ist, Zufallszahlen daraus zu generieren.
Extremwertcopula
Definition
Eine Copula <math>C</math> heißt Extremwertcopula, wenn es die Copula
einer multivariatenExtremwertverteilung ist, d. h. es existiert eine multivariate Extremwertverteilung <math>G</math> mit univariaten Rändern <math>G_1, \dots , G_n</math>, dass gilt <math>C(u_1, \dots, u_n) = G(G^{-1}_1(u_1), \dots, G^{-1}_n(u_n))</math>.
Lemma
Eine Copula <math>C</math> ist genau dann eine Extremwertcopula, wenn für <math>\mathbf{0} \leq \mathbf{u} = (u_1, \dots, u_n)^T \leq \mathbf{1}</math> und <math>t > 0</math> gilt <math>C(u_1^t, \dots, u_n^t) = C^t(u_1, \dots, u_n)</math>.
Ist <math>C</math> eine Extremwertcopula und sind <math>G_1, \dots, G_n</math> univariate Extremwertverteilungen, dann ist <math>G((x_1, \dots, x_n)^T) := C(G_1(x_1), \dots, G_n(x_n))</math>
eine multivariate Extremwertverteilung.
Zusammenhang zwischen Copula und T-Norm
Jede bivariate assoziative und kommutative Copula ist eine T-Norm (siehe Grabisch et al. 2009). Beispielsweise sind die bivariate Produktcopula und beide bivariaten Fréchet-Hoeffding-Schranken gleichzeitig T-Normen.
Literatur
Harry Joe: Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134). CRC Press, 2015, ISBN 978-1-4665-8322-1.
J.-F. Mai, M. Scherer: Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific, 2012, ISBN 978-1-84816-874-9.
J. Wernz: Bank Management and Control. Springer Nature, 2020, ISBN 978-3-03042865-5.
Roger B. Nelsen: An Introduction to Copulas. (= Lecture Notes in Statistics). Springer Verlag, 2006, ISBN 0-387-28659-4.
A. Sklar: Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward. In: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. Taylor (Hrsg.): Distributions With Fixed Marginals & Related Topics. (= Lecture Notes - Monograph Series Number. 28). 1997, ISBN 0-940600-40-4.
Rico Fischer: Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk. Logos Berlin, 2009, ISBN 978-3-8325-2142-4.
M. Grabisch, J.-L. Marichal, R. Mesiar E. Pap: Aggregation Functions. Cambridge University Press 2009. ISBN 978-0-521-51926-7. S. 56f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
Weblinks
P. Embrechts, F. Lindskog, A. McNeil: Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management. In: S. Rachev (Hrsg.): Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance. Elsevier, Chapter 8, 2003, S. 329–384. (people.math.ethz.ch; PDF; 818 kB)
P. Embrechts, A. McNeil, D. Straumann: Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls. In: M. A. H. Dempster: (Hrsg.): Risk Management: Value at Risk and Beyond. Cambridge University Press, Cambridge 2002, S. 176–223. (people.math.ethz.ch; PDF; 784 kB)
C. Schölzel, P. Friederichs: Multivariate non-normally distributed random variables in climate research – introduction to the copula approach. In: Nonlinear Processes in Geophysics. 15, 2008, S. 761–772. (www.nonlin-processes-geophys.net open access)
Andreas Beck, Michael Lesko, Frank Schlottmann, Konrad Wimmer: Copulas im Risikomanagement. In: Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen. 14/2006. (risknet.de)
Michael Lesko, Andreas Beck: Zur Modellierung von Abhängigkeiten in der Bankpraxis – Copula-Funktionen zur Ermittlung des Gesamtbankrisikoprofils. In: Betriebswirtschaftliche Blätter. 5/2006. (risknet.de)
