Craig-Interpolation

Die Craig-Interpolation ist ein Ausdruck der Logik. Der zugrunde liegende Satz (Craig’s Lemma, Interpolationstheorem) lautet folgendermaßen:

Es seien <math> T1</math> und <math> T2</math> zwei Theorien und der Satz <math> A \rightarrow C </math> sei ein in <math> T1 \cup T2 </math> ableitbarer Satz. Dann gilt: Es gibt ein <math> B</math>, sodass <math> A \rightarrow B </math> in <math> T1 </math> ableitbar ist, und <math> B \rightarrow C</math> ist in <math> T2 </math> ableitbar.

Das Interpolationstheorem

Dieses Interpolationstheorem wurde zuerst von dem US-amerikanischen Logiker William Craig (1918–2016) 1953 aufgestellt. Es wurde von S. Maehara und von Kurt Schütte (für intuitionistische Kalküle) bewiesen und hat zahlreiche Anwendungen in der Beweis- und Modelltheorie.

Algorithmus zur Bestimmung der Craig-Interpolante für die Aussagenlogik

Voraussetzung: Die Formel <math> A \rightarrow C</math> sei in einem korrekten Kalkül ableitbar, also tautologisch, oder, äquivalent, <math>A \models C</math>.

Suche alle Atome, die in <math>A</math>, aber nicht in <math>C</math> enthalten sind.
Für jedes dieser Atome <math>p</math> ver-odere (Verknüpfung mit oder) <math>A</math> mit sich selbst, wobei in jeder der beiden Kopien von <math>A</math> das Atom <math>p</math> einmal durch <math>\bot</math> und einmal durch <math>\top</math> ersetzt wird.
Die resultierende Formel ist die Craig-Interpolante <math>B</math>.

Bei jedem Schritt wird eines der Atome, die nur in <math>A</math> vorkommen, eliminiert. Man beachte, dass die Formel dabei exponentiell wächst – beim Bearbeiten jedes einzelnen Atoms verdoppelt sich die Größe.

Literatur

William Craig, On Axiomatizability Within a System. In: The Journal of Symbolic Logic. Vol. 8 (1), March 1953: 30–32.
Kurt Schütte: Proof Theory. Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-07911-4 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 225).
Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1967, ISBN 0-201-07028-6 (Addison-Wesley Series in Logic).
Christian Thiel / Gereon Wolters: Craig's Lemma. in: Jürgen Mittelstraß: Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Zweite Auflage. Band 2, Metzler 2005.