Deflation (Mathematik)
Deflation bezeichnet eine Technik aus der numerischen Mathematik, mit der eine Matrix <math>A \in \mathbb{C}^{n\times n}</math> in Blockdreiecksform gebracht wird, so dass das Spektrum von <math>A</math> gerade die Vereinigung der Spektren der Diagonalblöcke ist.
Deflationsprinzip
Sei <math>F \in \operatorname{End}(V)</math> ein Endomorphismus und <math>A \in \Complex^{n \times n}</math> die zugehörige Abbildungsmatrix. Durch Basiswechsel kann diese Matrix in eine Matrix <math>B</math> der Form
- <math>B \colon{=} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & B_{22} \end{pmatrix}</math>
mit <math>B_{ii} \in \Complex^{k_i \times k_i}</math> für <math>i \in \{1,2\}</math> und <math>k_1 + k_2 = n</math> transformiert werden. Für die Spektren <math>\sigma(B_{ii})</math> gilt
- <math>\sigma(A) = \sigma(B_{11}) \cup \sigma(B_{22}).</math>
Anstelle des <math>(n \times n)</math>-Eigenwertproblems <math>Ax = \lambda x</math> kann man also die zwei kleineren Eigenwertprobleme
- <math>B_{ii}y = \lambda y,\quad i = 1, 2</math>
lösen. Diese Methode kann man iterativ fortsetzen.
Deflation durch Ähnlichkeitstransformation
Theoretische Grundlage
Sei <math>A \in \mathbb{C}^{n\times n}</math> eine quadratische Matrix und <math>(\lambda,v)</math> ein Eigenpaar von <math>A</math> bestehend aus dem Eigenwert <math>\lambda \in \Complex</math> und einem dazugehörigen Eigenvektor <math>v \in \Complex^n</math>. Dieses Eigenpaar kann man beispielsweise durch die Potenzmethode erhalten. Die Matrix <math>A</math> wird nun mittels der Ähnlichkeitstransformation
- <math>B \colon{=} T^{-1}AT</math>
in eine Matrix <math>B</math> überführt. Die Transformationsmatrix <math>T</math> ist gegeben durch <math>T \colon{=} I-2\tfrac{ww^T}{w^Tw}</math> mit <math>w=v+\|v\|_2e_1</math>, wobei <math>I</math> die Einheitsmatrix und <math>e_1 \colon{=} \begin{pmatrix}1 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}^T</math> ist. Diese spezielle Basistransformation ist eine Householdertransformation. Daher gilt <math>T = T^{-1}</math> und die Matrix <math>B</math> hat die Gestalt
- <math> B = \begin{pmatrix} \lambda & b^t \\ 0 & B_1 \end{pmatrix}</math>.
Diese Matrix hat dieselben Eigenwerte wie die Matrix <math>A</math>. Nun kann man wieder die Potenzmethode auf die Matrix <math>B_1</math> anwenden und erhält so iterativ alle Eigenwerte.
Zahlenbeispiel
Sei
- <math>A=
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 9 \end{pmatrix}</math>
Durch die Potenzmethode erhält man <math>(\lambda_1,v)=\left(10.22459,\begin{pmatrix}0.2585012 & 0.3343480 & 0.9063049\end{pmatrix}^T\right)</math> als Eigenpaar von <math>A</math>. Nun berechnet man die Transformationsmatrix <math>T</math>. Es ist
- <math>T=I-2\frac{ww^T}{w^Tw}</math>,
wobei <math>w=v+\|v\|_2e_1</math> ist.
Man erhält
- <math>T=
\begin{pmatrix} - 0.258501 & - 0.3343480 & - 0.9063049 \\ - 0.3343480 & 0.9111732 & - 0.2407795\\ - 0.9063049 & - 0.2407795 & 0.3473280 \end{pmatrix}</math>
und somit
- <math>TAT=
\begin{pmatrix} 10.22459 & 3.5492494 & 0.5352000 \\ 0 & - 1.5051646 & - 2.3002829\\ 0 & 1.7142389 & 0.2805751 \end{pmatrix}</math>
Die Eigenwerte der Matrix
- <math>C=
\begin{pmatrix}
- 1.5051646 & - 2.3002829\\
1.7142389 & 0.2805751 \end{pmatrix}</math> sind <math>\lambda_2=- 0.6122947 + 1.7737021i</math> und <math>\lambda_3=- 0.6122947 - 1.7737021i</math> somit ist
- <math>\sigma(A)=\{10.22459,- 0.6122947 + 1.7737021i,- 0.6122947 - 1.7737021i\}</math>
Literatur
- Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. 1. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 2002, ISBN 978-3-519-00356-4.
- Robert Schaback, Helmut Werner: Numerische Mathematik. Vierte vollständig überarbeitete Auflage, Springer Verlag Berlin Heidelberg GmbH, Berlin Heidelberg 1992, ISBN 978-3-540-54738-9.
- Willi Törnig: Numerische Mathematik für Ingenieure und Physiker. Band 1, Springer Verlag Berlin Heidelberg, Berlin Heidelberg 1979.
Siehe auch
Weblinks
- Grundlagen der Numerischen Mathematik (abgerufen am 8. September 2016)
- Einführung in die Numerische Mathematik (abgerufen am 8. September 2016)
- Nichtperiodische Pflasterungen mit ganzzahligem Inflationsfaktor (abgerufen am 8. September 2016)