Diagonalfunktor
Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist der Diagonalfunktor ein Funktor, der es erlaubt, eine Kategorie <math>\mathcal{C}</math> in die Kategorie der Funktoren <math>\mathcal{C}^\mathcal{D}</math> für eine beliebige nichtleere (kleine) Kategorie <math>\mathcal{D}</math> einzubetten. Der Name rührt daher, dass für ein diskretes <math>\mathcal{D}</math> mit zwei Elementen der Diagonalfunktor gerade die Abbildung <math>\mathcal{C} \to \mathcal{C}\times\mathcal{C}, u\mapsto (u,u)</math> ist.
Definition und Funktorialität
Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie und <math>\mathcal{D}</math> eine kleine Kategorie. Dann ist der Diagonalfunktor <math>\Delta</math> definiert als Abbildung, die jedem Morphismus <math>u\in\mathcal{C}</math> eine natürliche Transformation <math>\Delta(u)\in\mathcal{C}^\mathcal{D}</math> zuordnet, wobei <math>\Delta(u)</math> dadurch gegeben sei, dass sie jedem Objekt und damit jedem Morphismus in <math>\mathcal{D}</math> den Morphismus <math>u</math> zuweise. Für ein Objekt <math>A\in\mathcal{C}</math> ist <math>\Delta(A)</math> offensichtlich ein Funktor. Um nun einzusehen, dass <math>\Delta</math> tatsächlich Funktor ist, betrachte man für Morphismen <math>u\colon A\to B</math> und <math>v\colon B\to C</math> aus der Kategorie <math>\mathcal{C}</math> die Verkettung der natürlichen Transformationen <math>\Delta(u)</math> und <math>\Delta(v)</math>, dies ergibt per Definition für jedes <math>\phi\colon X\to Y</math> in <math>\mathcal{D}</math> das folgende kommutative Diagramm:
Dieses ist nichts anderes als:
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Dies entspricht der natürlichen Transformation <math>\Delta(uv)</math>, womit bewiesen ist, dass <math>\Delta(uv)=\Delta(u)\Delta(v)</math>. Für nichtleeres <math>\mathcal{D}</math> ist <math>\Delta</math> offensichtlich injektiv, bettet also <math>\mathcal{C}</math> in die entsprechende Funktorkategorie ein. Unter einer bestimmten Voraussetzung ist <math>\Delta</math> auch voll: Sei <math>\alpha\colon\Delta(A)\to\Delta(B)</math> natürliche Transformation, d. h., dass für jedes <math>\phi\colon X\to Y</math> in <math>\mathcal{D}</math> das Diagramm
kommutiert (denn <math>\Delta(A)(\phi)=A</math> und <math>\Delta(B)(\phi)=B</math>). Was nichts anderes heißt, als dass <math>\alpha(X)=\alpha(Y)</math>, wann immer ein Morphismus zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> existiert. Falls die Kategorie <math>\mathcal{D}</math> als Graph aufgefasst schwach zusammenhängend ist, ist <math>\alpha</math> also konstant und somit im Bild von <math>\Delta</math>, womit <math>\Delta</math> voll ist.<ref>Pumplün, S. 105–106</ref> Dies ist beispielsweise für eine Pfeilkategorie <math>\mathcal{C}^\mathcal{D}</math> oder allgemeiner für <math>\mathcal{D}</math> mit Anfangs- oder Endobjekt erfüllt, nicht dagegen für ein Produkt <math>\mathcal{C}^\mathcal{D}</math> für diskretes <math>\mathcal{D}</math> mit mindestens zwei Elementen.
Zusammenhang mit Limites
Ein Kegel bezüglich eines Funktors <math>F\colon\mathcal{D}\to\mathcal{C}</math> ist nichts anderes als ein Objekt in <math>\mathcal{C}</math> versehen mit einer natürlichen Transformation von <math>\Delta(A)</math> nach <math>F</math>. Ein Limes von <math>F</math> ist dabei ein spezieller Kegel, nämlich eine <math>\Delta</math>-kouniverselle Lösung für <math>F</math>. Dual dazu ist ein Kolimes von <math>F</math> ein spezieller Kokegel, nämlich eine <math>\Delta</math>-universelle Lösung für <math>F</math>. Besitzt <math>\Delta</math> einen rechtsadjungierten Funktor, so ist <math>\mathcal{C}</math> vollständig bezüglich Limites auf <math>\mathcal{D}</math>, die Umkehrung gilt ebenfalls. Dieser adjungierte Funktor ist gerade der Limesfunktor. Entsprechend ist der Kolimesfunktor (wenn er existiert) linksadjungiert zum Diagonalfunktor.<ref>Mac Lane, S. 233</ref>
Der Diagonalfunktor ist stetig, d. h., er erhält alle Limites, die in <math>\mathcal{C}</math> existieren. Ebenso erhält er alle Kolimites.<ref>Pumplün, S. 169</ref>
Literatur
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Weblinks
- diagonal functor, Eintrag im nLab. (englisch)
Einzelnachweise
<references />