Diagonalmatrix
Als Diagonalmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonalen bestimmt.
Für Diagonalmatrizen lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen. Wird eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum mithilfe einer Diagonalmatrix dargestellt, so können die Eigenwerte der Abbildung aufgrund des Spektralsatzes direkt abgelesen werden.
Eine quadratische <math>n</math>-dimensionale Matrix <math>A</math> heißt diagonalisierbar, wenn es eine Diagonalmatrix <math>D_A</math> gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, wenn eine reguläre Matrix <math>S</math> so existiert, dass <math>D_A = S^{-1}AS</math> bzw. <math>SD_A = AS</math> gilt.
Definition
Eine quadratische Matrix <math>D</math> über einem Körper <math>K</math> (zum Beispiel den reellen Zahlen <math>K=\R</math>)
- <math>D = \begin{pmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & d_{nn}
\end{pmatrix}</math>, deren Elemente <math>d_{ij} \in K</math> mit <math>i \neq j</math> alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür
- <math>D = \operatorname{diag} (d_1, d_2, \dotsc, d_n)
- = \begin{pmatrix}
d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & d_{n}
\end{pmatrix}</math>.
Beispiele
Zahlenbeispiel
Die <math>3 \times 3</math>-Matrix
- <math>
\operatorname{diag} \left(1,3,5\right)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} </math>
ist eine Diagonalmatrix.
Besondere Diagonalmatrizen
- Die Einheitsmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert <math>1</math> haben.
- Die quadratische Nullmatrix ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert <math>0</math> haben.
- Stimmen bei einer Diagonalmatrix sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonale überein, spricht man auch von Skalarmatrizen.<ref>Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.</ref> Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der Einheitsmatrix <math>I_n = \operatorname{diag} (1, 1, \dotsc, 1)</math>. Die Gruppe der von der Nullmatrix verschiedenen Skalarmatrizen ist das Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe <math>GL(n,\R)</math>.
Eigenschaften von Diagonalmatrizen
- Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen Unterring des Rings der quadratischen <math>n \times n</math>-Matrizen.
- Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonale:
- <math>\det\left( \operatorname{diag} \left(d_1, d_2,\dotsc,d_n\right)\right) = d_1\cdot d_2\dotsm d_n = \prod_{i=1}^n d_i</math>
- Die Adjunkte einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder eine Diagonalmatrix.
- Diagonalmatrizen sind symmetrisch und normal. Wenn sie reelle Einträge haben, sind sie sogar selbstadjungiert.
Rechenoperationen
Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation, Transposition
Die Matrizenaddition, Skalarmultiplikation und Matrizenmultiplikation gestalten sich bei Diagonalmatrizen sehr einfach:
- <math>\operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \operatorname{diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) = \operatorname{diag} (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n)</math>
Multiplikation einer Matrix <math>A</math> von links mit einer Diagonalmatrix (also <math>D \cdot A</math>) entspricht der Multiplikation der Zeilen von <math>A</math> mit den entsprechenden Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von <math>A</math> mit den Diagonaleinträgen.
Für jede Diagonalmatrix <math>D</math> gilt, dass sie symmetrisch ist, folglich gilt: <math>D = D^T</math>.<ref>Horst Stöcker (Hrsg.): Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 363.</ref>
Berechnung der Inversen
Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale <math>0</math> ist. Die inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt:
- <math>\operatorname{diag} \left(d_1, d_2, \dots, d_n\right)^{-1} = \operatorname{diag} \left(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1}\right)</math>
Für die Pseudoinverse einer beliebigen Diagonalmatrix gilt:
- <math>\operatorname{diag} \left(d_1, d_2, \dots, d_n\right)^{+} = \operatorname{diag}\left(d_1^+, d_2^+, \dots, d_n^+\right)</math>
mit <math>d_i^+ = d_i^{-1}</math> für <math>d_i \neq 0</math> und <math>d_i^+ = 0</math> für <math>d_i = 0</math>, <math>i=
1,\dotsc,n</math>.
Damit kann beispielsweise bei einer bestehenden Singulärwertzerlegung die Pseudoinverse <math>A^+</math> sehr effizient berechnet werden: <math>A^+=V\Sigma^+U^T</math>.<ref>Mathematical Modelling of Continuous Systems, S. 31 f., Archivlink</ref>
Invertierbare Diagonalmatrizen
In der Theorie algebraischer Gruppen wird eine Gruppe, die isomorph zu einem endlichen Produkt von Kopien der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist, als algebraischer Torus oder einfach als Torus bezeichnet.
Wie man leicht sieht, ist das Produkt von <math>n</math> Kopien der multiplikativen Gruppe des Körpers <math>K</math> isomorph zur Gruppe der invertierbaren <math>n\times n</math>-Diagonalmatrizen über dem Körper <math>K</math>.
Siehe auch
Weblinks
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Einzelnachweise
<references/>