Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Definition

In einer Kategorie seien zwei Morphismen <math>f,g\colon X\rightarrow Y</math> gegeben. Ein Differenzkern von <math>f</math> und <math>g</math> ist ein Morphismus <math>i\colon Z\rightarrow X</math> mit folgenden Eigenschaften:

<math> f \circ i = g \circ i </math> und
zu jedem Morphismus <math>i' \colon Z' \to X</math>, für den <math>f \circ i' = g \circ i'</math> gilt, gibt es genau einen Morphismus <math> c \colon Z' \to Z</math>, so dass <math>i' = i \circ c</math>.<ref>B. Pareigis: Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner (1969), Kapitel 1.9: Differenzkerne und -kokerne</ref><ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Definition 16.2</ref>

<math> \begin{array}{ccccc} Z' & & & & \\

\downarrow^{c} &  \searrow^{i'} & & &  \\

Z & \xrightarrow[i]{} & X & \underset{f}{\overset{g}{\rightrightarrows}} & Y \\ \end{array} </math>

Beispiele

In den Kategorien Set der Mengen, Top der topologischen Räume, <math>R</math>-Mod der Linksmoduln über einem Ring <math>R</math> ist in der Situation obiger Definition die Inklusionsabbildung

<math>i\colon \{x\in X \mid f(x) = g(x)\} \hookrightarrow X</math>

ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist

automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz <math>f-g</math> zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.

In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition <math>g=0_{XY}</math> der Nullmorphismus <math>X\rightarrow Y</math>, so ist ein Differenzkern von <math>f</math> und <math>0_{XY}</math> nichts anderes als ein Kern von <math>f</math>. Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

Bemerkungen

Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition <math>i\colon Z\rightarrow X</math> und <math>\tilde{i}\colon\tilde{Z}\rightarrow X</math> zwei Differenzkerne von <math>f</math> und <math>g</math>, so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus <math>c\colon\tilde{Z}\rightarrow Z</math> mit <math>\tilde{i} = i\circ c</math> gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit <math>\mathrm{ker}(f,g)</math> bezeichnet.
In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt <math>Z</math> den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen <math>f,g\colon X\rightarrow Y</math> einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und <math>R</math>-Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set₂ der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Beispiele 16.9</ref>
Differenzkerne sind Monomorphismen.<ref>Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory, Allyn and Bacon Inc. 1973, Satz 16.4</ref> Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.
Differenzkerne sind spezielle Limites, nämlich die von Funktoren <math>\mathcal{I}\rightarrow\mathcal{C}</math> (auch <math>\mathcal{I}</math>-förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie <math>\mathcal{I}</math> aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

Äquivalente Beschreibung

Ein Differenzkern zweier Morphismen <math>f, g \colon X \to Y</math> in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt <math> i \colon \ker( f , g) \to X</math> von <math>X</math> beschrieben werden:

<math>\operatorname{Hom}(T,\ker(f,g)) \cong \ker(\operatorname{Hom}(T,f),\operatorname{Hom}(T,g))</math>

wobei

<math>\operatorname{Hom}(T,f)\colon \operatorname{Hom}(T,X) \to \operatorname{Hom}(T,Y)</math>

<math>\operatorname{Hom}(T,f)(t) := f t</math>

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in <math>T</math> sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

<math>\varphi_T\colon \operatorname{Hom}(T,\ker(f,g)) \to \ker(\operatorname{Hom}(T,f),\operatorname{Hom}(T,g))</math>

dann gilt für alle <math> a \colon T_0 \to T </math> und alle <math>t</math> für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

<math> \varphi_{T_0}(t a) = \varphi_T( t ) a </math>

Siehe auch

Differenzkokern

Einzelnachweise

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