Dimensionsformel

Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume <math>V_1</math>, <math>V_2</math> eines größeren Vektorraumes berechnen lässt:

<math>\dim\left(V_1+V_2\right)=\dim V_1 + \dim V_2 - \dim\left(V_1\cap V_2\right)</math>

Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz. Einen Spezialfall stellt die Situation <math>V_1 \oplus V_2=V_1+V_2 </math> dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf

<math>\dim\left(V_1+V_2\right)=\dim V_1 + \dim V_2,</math>

da für eine direkte Summe gilt

Der Untervektorraum, den der Schnitt von <math>V_1</math> und <math>V_2</math> darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich null ist.

Ist <math>V_1</math> oder <math>V_2</math> unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall

<math>\dim \left(V_1 + V_2\right) \ge \max \{\dim V_1, \dim V_2\}</math>

und

<math>\dim \left(V_1 + V_2\right) \le \dim \left(V_1 \oplus V_2\right) = \dim V_1 + \dim V_2</math>.

Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, <math>\dim \left(V_1+V_2\right) = \max \{\dim V_1, \dim V_2\}</math>.

Literatur

Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 46–47.