Dirac-Matrizen

Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

Definition

Die Dirac-Matrizen <math>\gamma^0,\,\gamma^1\,,\gamma^2\,</math> und <math>\,\gamma^3\,</math> erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen

<math>

\begin{align} \gamma^0\gamma^0 &= I\,,&\gamma^1\gamma^1 &= -I\,,&\gamma^2\gamma^2 &= -I\,,&\gamma^3\gamma^3 &= -I\,,\\ \gamma^0\gamma^1 &= -\gamma^1\gamma^0\,, & \gamma^0\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^0\,, & \gamma^0\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^0\,, &&\\ \gamma^1\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^1\,, & \gamma^1\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^1\,, & \gamma^2\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^2\,. && \end{align} </math> mit der Einheitsmatrix <math>I</math>. Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

<math> \{ A , B \} = A\,B + B\,A\,. </math>

In Indexnotation, in der <math>\mu</math> und <math>\nu</math> für Zahlen aus <math>\{0,1,2,3\}</math> stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

<math> \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2\,\eta^{\mu\nu}I\,. </math>

Dabei sind <math>\eta^{\mu\nu}</math> die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1).

Die γ⁵-Matrix

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

<math> \gamma^5=\mathrm i\, \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\ .</math>

Sie ist ihr eigenes Inverses, <math> \gamma^5 \gamma^5 = I\,,</math> ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, <math>\gamma^5 \gamma^\mu = - \gamma^\mu \gamma^5\,,</math> und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

Eigenschaften

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus <math>4\times 4</math>-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen <math>-\gamma^{\mu\,\text{T}}</math> und die hermitesch adjungierten Matrizen <math>\gamma^{\mu\,\dagger}</math> den Matrizen <math>\,\gamma^\mu\,</math> äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix <math>A</math> und eine Matrix <math>C</math>, so dass

<math>C \gamma^\mu C^{-1}=-\gamma^{\mu\,\text{T}}\ ,\quad

A \gamma^\mu A^{-1}=\gamma^{\mu\,\dagger}\,.</math>

Die Matrix <math>A</math> ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix <math>C</math> tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder −1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

<math>\pm 1\,,\, \pm \gamma^\mu\,,\, \pm \gamma^\mu \gamma^\nu\,,\,\mu<\nu\,,\,

\pm \gamma^\lambda \gamma^\mu \gamma^\nu \,,\,\lambda<\mu<\nu\,,\, \pm \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\,,\, \text{wobei}\,\lambda,\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}\,.</math>

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass <math>\gamma^0</math> hermitesch und die drei anderen <math>\gamma</math>-Matrizen antihermitesch sind,

<math>\gamma^{0\,\dagger}=\gamma^0\,,\,\gamma^{1\,\dagger}=-\gamma^1\,,\,\gamma^{2\,\dagger}

=-\gamma^2\,,\,\gamma^{3\,\dagger}=-\gamma^3\,.</math>

In unitären Darstellungen bewirkt <math>A=\gamma^0</math> die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

<math> \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0=\gamma^{\mu\,\dagger}\,.</math>

Mithilfe der Eigenschaften von <math>\gamma^5</math> kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.

<math>

\begin{align}

\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr)

&=

\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)=
-\text{Spur}\, \bigl(\gamma^5\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\bigr)\\

&=

-\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)=
-\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots  \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr)\,.

\end{align} </math> Im vorletzten Schritt wurde dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach <math>\text{Spur}\,(\gamma^5\,B)= \text{Spur}\,(B\,\gamma^5)</math> gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)

<math>

\text{Spur}\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu = \frac 1 2 \text{Spur}(\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu +\gamma^\nu\,\gamma^\mu) = \frac{2\, \eta^{\mu\nu}}{2} \text{Spur 1} = 4 \,\eta^{\mu\nu}\,. </math> Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei:

<math>

\begin{array}{rcl}

   2\,\text{Spur}\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu

&=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu

   + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa )\\

&=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu

   + \gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\\
 &&\ \ \ \ -\gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu
   - \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu\\
 &&\ \ \ \ +\gamma^\lambda \,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu
   + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa)\\

&=& 2\,\eta^{\kappa\lambda} \text{Spur} (\gamma^\mu\,\gamma^\nu)

   - 2\,\eta^{\kappa\mu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\nu)
   + 2\,\eta^{\kappa\nu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\mu)\,.

\end{array} </math> Daher gilt:

<math>

\begin{array}{rcl} \text{Spur} \,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu &=& 4\,(\eta^{\kappa\lambda}\,\eta^{\mu\nu} -\eta^{\kappa\mu}\,\eta^{\lambda\nu} +\eta^{\kappa\nu}\,\eta^{\lambda\mu})\,. \end{array} </math> Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

Dirac-Gleichung

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

<math> (\mathrm i \gamma^\mu \partial_\mu -m) \psi = 0</math>

wobei <math> \psi </math> ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit <math> -(\mathrm i \gamma^\nu \partial_\nu) </math> erhält man

<math> (\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu + m^2) \psi = (\partial^2 + m^2) \psi = 0, </math>

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse <math>m</math>.

Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen

Die sechs Matrizen

<math>\Sigma ^{\mu\nu} = \frac{1}{4}\bigl( \gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu \gamma^\mu\bigr)</math>

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren <math>\psi</math>.

Chiralität

Aus <math>(\gamma^5)^2=1</math> und <math>\text{Spur}\,\gamma^5=0</math> folgt, dass die Matrizen

<math>

P_L = \frac{1-\gamma^5}{2}\,,\quad P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} </math>

Projektoren sind,

<math>(P_L)^2=P_L\,,\,(P_R)^2=P_R\,,</math>

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

<math>P_L\,P_R=0\,,\ \text{Spur}\,P_L=\text{Spur}\,P_R=2\,,\quad P_L+P_R=1\,.</math>

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil <math>\gamma^5</math> mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

<math>\gamma^5 \Sigma^{\mu\nu}= \Sigma^{\mu\nu}\gamma^5\,,</math>

sind die Unterräume, auf die <math>P_L</math> und <math>P_R</math> projizieren, invariant unter den von <math>\Sigma^{\mu\nu}</math> erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, <math>\psi_L = P_L \psi</math> und <math>\psi_R = P_R \psi</math>, eines Spinors <math>\psi</math> transformieren getrennt voneinander.

Da <math>P_L </math> und <math>P_R</math> hermitesch sind, weil <math>\gamma^5</math> hermitesch ist, gilt für

<math>\bar{\psi}_L= (P_L\, \psi)^\dagger\gamma^0=\psi^\dagger P_L^\dagger\gamma^0=\psi^\dagger P_L \gamma^0 = \psi^\dagger \gamma^0 P_R = \bar{\psi}\, P_R</math>,

wobei <math>\bar{\psi}</math> allgemein definiert wird als <math>\bar{\psi} = \psi^\dagger \gamma^0</math>. Die Änderung <math>P_L \rightarrow P_R</math> ergibt sich aus der Vertauschung von <math>\gamma^5</math> mit <math>\gamma^0</math>. Da <math>\gamma^5</math> mit <math>\gamma^0</math> antikommutiert, ändert sich das Vorzeichen vor <math>\gamma^5</math> im Projektionsoperator <math>P_L = \frac{1-\gamma^5}{2} \rightarrow P_R = \frac{1+\gamma^5}{2}</math>. Ganz analog erhält man für <math>\bar{\psi}_R = \bar{\psi}\, P_L</math>.

Parität

Wegen <math>\gamma^0\gamma^5\gamma^0 = - \gamma^5</math> ändert ein Term, der <math>\gamma^5</math> enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus <math>\overline{\psi}=\psi^\dagger A=\psi^\dagger \gamma^0</math>, Gamma-Matrizen und einem eventuell von <math>\psi</math> verschiedenen Spinor <math>\chi</math> zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

• <math> \overline \psi \chi </math> wie ein Skalar,
• <math> \overline \psi\gamma^\mu \chi </math> wie die Komponenten eines Vierervektors,
• <math> \overline \psi\Sigma^{\mu\nu} \chi </math> wie die Komponenten eines Bivektors bzw. antisymmetrischen Tensors,
• <math> \overline \psi\gamma^\mu\gamma^5 \chi </math> wie die Komponenten eines Vierer-Pseudovektors,
• <math> \overline \psi\gamma^5 \chi </math> wie ein Pseudoskalar.

Feynman-Slash-Notation

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen <math>\textstyle \sum_{\mu=0}^3\,\gamma^\mu A_\mu</math> abgekürzt geschrieben als

<math>A\!\!\!/\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu A_\mu</math>.

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

<math>\Bigl( \mathrm i \partial \!\!\!/\ - \frac{mc}{\hbar} \Bigr)\, \psi(x) = 0\ ,</math>

oder in natürlichen Einheiten

<math>\Bigl( \mathrm i \partial \!\!\!/\ - m \Bigr)\, \psi(x) = 0\ .</math>

Dirac-Darstellung

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (verschwindende Matrixelemente nicht ausgeschrieben)

<math>

\begin{array}{c c} \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{pmatrix}\,,& \gamma^1 = \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & 1 & \\ & -1 & & \\ -1 & & & \end{pmatrix}\,,\\ \,& \,\\ \gamma^2 = \begin{pmatrix} & & & -\mathrm i \\ & & \mathrm i & \\ & \mathrm i & & \\ -\mathrm i & & & \end{pmatrix}\,, & \gamma^3 = \begin{pmatrix} & & 1 & \\ & & & -1 \\ -1 & & & \\ & 1 & & \end{pmatrix} \,. \end{array} </math> Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine <math>2 \times 2</math>-Matrix):

<math>

\gamma^0 = \begin{pmatrix}

 1  &  \\
    & -1

\end{pmatrix}\,,\quad \gamma^i = \begin{pmatrix}

        & \sigma^i \\
-\sigma^i &

\end{pmatrix}\, ,\;i\in\{1,2,3\}\,,\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix}

 & 1 \\
1 &

\end{pmatrix}\,. </math>

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:

<math>

\gamma^0=\sigma^3\otimes 1,\quad \gamma^i=\mathrm i \sigma^2\otimes\sigma^i, \;i\in\{1,2,3\} , \quad \gamma^5=\sigma^1\otimes1\,. </math>

Die Ladungskonjugationsmatrix ist in dieser Darstellung reell und antisymmetrisch

<math>

C_D = i\gamma^2\gamma^0 = -i \sigma^1\otimes \sigma^2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\sigma^2 \\ -i\sigma^2 & 0 \end{pmatrix}

 = \begin{pmatrix}
     0 & ~~0 & ~~ 0 &  -1 \\
     0 & ~~0 & ~~ 1 & ~~0 \\
     0 &  -1 & ~~ 0 & ~~0 \\
     1 & ~~0 & ~~ 0 & ~~0 
    \end{pmatrix} ~.

</math>

Weyl-Darstellung

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist <math>\gamma^5</math> diagonal,

<math>

\gamma^5 = \begin{pmatrix}

-1 &  \\
 & 1

\end{pmatrix}\,,\quad P_L = \frac{1-\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix}

1 &  \\
 & 0

\end{pmatrix}\,,\quad P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix}

0 &  \\
 & 1

\end{pmatrix}\,. </math> Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden <math>\gamma^0</math> und <math>\gamma^5</math> verändert, die räumlichen <math>\gamma</math>-Matrizen bleiben unverändert:

<math>\gamma^0 = \begin{pmatrix}

 & 1 \\
1 &

\end{pmatrix}\,,\quad \gamma^i = \begin{pmatrix}

 & \sigma^i \\
-\sigma^i &

\end{pmatrix}\,,\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix}

-1 &  \\
 & 1

\end{pmatrix}. </math> Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,

<math>

\gamma^\mu_{\text{Weyl}}=U\,\gamma^\mu_{\text{Dirac}}U^{-1}\text{ mit } U= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ U^{-1}=U^\dagger= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\,. </math>

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die Ladungskonjugationsmatrix ist bei dieser Darstellung ebenfalls reell und antisymmetrisch

<math>C_W = U C_D U^{\text{T}} = i\gamma^2\gamma^0 = \begin{pmatrix} i\sigma^2 & 0 \\ 0 & -i\sigma^2 \end{pmatrix}</math>.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

Majorana-Darstellung

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Die Dirac-Gleichung ist bei dieser Darstellung ein reelles Differentialgleichungssystem,

<math>

\begin{align} \gamma^{0} &= \begin{pmatrix}

 & -\sigma^2 \\
-\sigma^2 &

\end{pmatrix}\,,& \gamma^{1} &= \begin{pmatrix}

 &\mathrm  i\sigma^3 \\

\mathrm i\sigma^3 &

\end{pmatrix}\,,&\\

&\, & &\\ \gamma^{2}&= \begin{pmatrix} \mathrm i & \\

 & -\mathrm i

\end{pmatrix}\,,& \gamma^{3} &= \begin{pmatrix}

 & -\mathrm i\sigma^1 \\
-\mathrm i\sigma^1 &

\end{pmatrix}\,,& \gamma^{5} &= \begin{pmatrix}

 & \mathrm i \\
-\mathrm i &

\end{pmatrix}\,. \end{align} </math>

Literatur

• James Bjorken, Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
• Michael Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
• Josef-Maria Jauch, Fritz Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
• Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk, David Olive: Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253–290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)
• Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II), Springer, Heidelberg, ISBN 978-3-540-85076-2