Dirichlet-Bedingung

{{#if: erläutert eine Konvergenzbedingung für Fourierreihen; für die Randbedingung bei Differenzialgleichungen; siehe Dirichlet-Randbedingung.

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}} Die Dirichlet-Bedingung, auch Satz von Dirichlet genannt, ist nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

Aussage

Sei <math>f</math> eine im Intervall <math>[-T/2,T/2]</math> definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Das Intervall <math>[-T/2,T/2]</math> lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen <math>f</math> stetig und monoton ist.
2. Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von 1. Art, das heißt, es existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, <math>f(t_0+)</math> und <math>f({t_0}-)</math>.

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem <math>t \in [-T/2,T/2]</math> gegen

<math>

 \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cdot \cos(n \omega t) + b_n \cdot \sin(n\omega t))
= \begin{cases} f(t), & \mbox{wenn }f\mbox{ in t stetig} \\ 
        (f(t+)+f(t-))/2, & \mbox{wenn }f\mbox{ in t unstetig} 
  \end{cases}

</math>.

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.