Dirichlet-Kern
Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.
Definition
Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge
- <math>D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math>
Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von <math>D_n(x)</math> mit einer Funktion <math>f</math> der Periode <math>2\pi</math> ist die Fourier-Approximation <math>n</math>-ten Grades für <math>f</math>. Beispielsweise ist
- <math>(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx},</math>
wobei
- <math>\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx</math>
der <math>k</math>-te Fourierkoeffizient von <math>f</math> ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L1-Norm von <math>D_n</math> für <math>n\to\infty</math> logarithmisch gegen <math>\infty</math> geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.<ref>W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101</ref> Explizit gilt nämlich:
- <math>\int |D_n(t)|\,dt = \frac{4}{\pi^2}\log n + \mathcal{O}(1)</math>
Für die <math>\mathcal{O}</math>-Notation siehe Landau-Symbole.
Beziehung zur Delta-Distribution
Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit <math>2\pi</math>-periodischen Funktionen:
- <math>f*(2\pi \delta)=f \,</math>
für jede Funktion <math>f</math> mit Periode <math>2\pi</math>. Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:
- <math>2\pi \delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}=\left(1 +2\sum_{k=1}^\infty\cos(kx)\right).</math>
Beweis der trigonometrischen Identität
Die trigonometrische Identität
- <math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}
=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}</math>
kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:
- <math>\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.</math>
Insbesondere gilt
- <math>\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.</math>
Multipliziert man Zähler und Nenner mit <math>r^{-{1 \over 2}}</math>, erhält man
- <math>\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.</math>
Im Fall von <math>r = e^{ix}</math> erhält man
- <math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}</math>
und kürzt schließlich mit <math>-2i</math>.
Literatur
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
- Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S. 620 (vollständige Online-Version (Google Books))
Weblinks
- Dirichlet Kernel bei PlanetMath (engl.)
Einzelnachweise
<references />