Dolbeault-Kohomologie

Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex

Im Folgenden werde mit <math>\mathcal{A}^{p,q}</math> die Menge der <math>(p,q)</math>-Differentialformen bezeichnet. Sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, <math>U \subset M</math> eine offene Teilmenge und

<math>\overline{\partial} \colon \mathcal{A}^{p,q}(U) \to \mathcal{A}^{p,q+1}(U)</math>

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

<math>0 \longrightarrow \mathcal{A}^{p,0}(U) \stackrel{\overline{\partial}_0}{\longrightarrow} \mathcal{A}^{p,1}(U) \stackrel{\overline{\partial}_1}{\longrightarrow} \mathcal{A}^{p,2}(U) \stackrel{\overline{\partial}_2}{\longrightarrow} \ldots \stackrel{\overline{\partial}_{n-1}}{\longrightarrow} \mathcal{A}^{p,n}(U) \longrightarrow 0</math>

<math>p</math>-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt <math>\overline{\partial}_{k+1} \circ \overline{\partial}_k = 0.</math> Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach <math>n</math> Schritten ab.<ref name=":0">John M. Lee: Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society, 2024, ISBN 978-1-4704-7695-3, S. 107 f. (google.de). </ref> Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von <math>\overline{\partial}</math> ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie

Aus diesem <math>p</math>-ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt <math>p</math>-te Dolbeault-Kohomologie und wird durch <math>H^p_{\overline{\partial}}(U)</math> notiert. Die <math>q</math>-te Kohomologiegruppe der <math>p</math>-ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die <math>(q,p)</math>-te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als<ref name=":0" />

<math>H^{p,q}_{\overline{\partial}}(U) = \mathrm{Kern}\left(\overline{\partial}_q\right) / \mathrm{Bild}\left(\overline{\partial}_{q-1}\right).</math>

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault

Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit <math>\Omega^p(M)</math> wird die Garbe der holomorphen <math>p</math>-Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit <math>M</math> bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die <math>q</math>-te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen <math>p</math>-Formen <math>H^q_G(M,\Omega^p(M))</math> isomorph zur <math>q</math>-ten Kohomologiegruppe der <math>p</math>-ten Dolbeault-Kohomologie <math>H^{p,q}_{\overline{\partial}}(M)</math> ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

<math>H^{p,q}_{\overline{\partial}}(M)\cong H^q_G(M,\Omega^p(M)).</math>

Literatur

• P. Dolbeault: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 236, 1953, ISSN 0001-4036, S. 175–277.
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).

Einzelnachweise

<references />