Doob-Zerlegung

Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal. Er besagt, dass sich ein stochastischer Prozess in einen Martingalteil <math>M</math> und einen vorhersagbaren Anteil <math>A</math> (auch Kompensator genannt<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>) zerlegen lässt. <math>A</math> lässt sich als Drift des Prozesses interpretieren und <math>M</math> als die aufaddierten (unsystematischen) Schwankungen um die Drift.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Anwendung ist beispielsweise die Darstellung des quadratischen Variationsprozesses in diskreter Zeit.

Das Analogon in stetiger Zeit ist die Doob-Meyer-Zerlegung.

Aussage

Seien <math>(\Omega,\mathcal{A},P)</math> ein Wahrscheinlichkeitsraum und <math>\mathcal{F}=(\mathcal{F}_n)_{n\in\N}</math> eine Filtrierung. Jeder an <math>\mathcal{F}</math> adaptierte und integrierbare stochastische Prozess <math>(X_n)_{n\in\N}</math> ist dann darstellbar als <math>X=M+A</math>, wobei <math>M</math> ein Martingal und <math>A</math> vorhersagbar ist, d. h., es gilt: <math>A_{n+1}</math> ist <math>\mathcal{F}_n</math>-messbar für alle <math>n\in\N</math>. Mit der Festsetzung <math>A_0=0</math> ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist <math>A</math> genau dann monoton wachsend, wenn <math>X</math> ein Submartingal ist.

Beweis

Definiert man für <math>n\in\N</math>

<math>M_n:=X_0+\sum_{k=1}^{n}\bigl(X_k-\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]\bigr)</math> und
<math>A_n:=\sum_{k=1}^{n}\bigl(\mathbb{E}[X_k\mid\mathcal{F}_{k-1}]-X_{k-1}\bigr),</math>

dann gilt <math>X_n=M_n+A_n</math>. Die Martingaleigenschaft von <math>M</math> und Vorhersagbarkeit von <math>A</math> folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung <math>X=M'+A'</math> der Prozess <math>M-M'=A'-A</math> sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls <math>X</math> ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von <math>A_n</math> größer oder gleich 0, also ist <math>A</math> ein monoton wachsender Prozess.

Literatur

J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, 1953, ISBN 978-0471218135
Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8

Einzelnachweise