Dyson-Gleichung

Die Dyson-Gleichungen sind von Freeman Dyson gefundene Zusammenhänge zwischen verschiedenen S-Matrix-Elementen bzw. Greenfunktionen einer Quantenfeldtheorie. Zwar wurden die Gleichungen von Dyson nur für Zwei-Punkt- und Drei-Punkt-Funktionen in der Quantenelektrodynamik durch Aufsummieren unendlich vieler Feynman-Diagramme gefunden,<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> doch gelten diese Integralgleichungen allgemein in Quantenfeldtheorien und werden auch für allgemeine n-Punkt-Funktionen verwendet.

Sie stellen die vollen ({{#invoke:Vorlage:lang|flat}}) renormierten Green-Funktionen dar durch einen wechselwirkungsfreien Anteil, die sogenannten nackten ({{#invoke:Vorlage:lang|flat}}) Green-Funktionen, und einen wechselwirkungsbehafteten Teil, der alle möglichen Wechselwirkungen der beteiligten Felder beinhaltet.

Datei:Dysoneq.pdf

Die Dyson-Gleichung des Elektronpropagators

Die originalen Dyson-Gleichungen lauten:<ref name=":0" />

• für den Elektron-Propagator: <math>S = S_0 + S_0 \Sigma S</math>
• für den Photon-Propagator: <math>D^{\mu\nu} = D^{\mu\nu}_0 + D^{\mu\alpha}_0 \Pi_{\alpha\beta} D^{\beta\nu}</math>
• für den Elektron-Photon-Vertex: <math> \Gamma_\mu = \gamma_\mu + \Lambda_\mu </math>

wobei

• die tiefgestellte 0 jeweils die wechselwirkungsfreien Terme kennzeichnet und
• die großen griechischen Buchstaben jeweils die irreduzible Green-Funktion für das Ein-Teilchen-System darstellen, also
  • <math>\Sigma</math> die Elektron-Selbstenergie
  • <math>\Pi_{\alpha\beta} </math> die Photon-Vakuumpolarisation.

Die ersten zwei Gleichungen sind Einteilchenfälle (n=1) der allgemeinen Form für n Teilchen, die heute oft als die Dyson-Gleichung bezeichnet wird:

<math>G^n = G_0^n + G_0^n K^n G^n</math>

mit

• der vollen Green-Funktion <math>G^n</math>
• der Green-Funktion <math>G_0^n</math> für n wechselwirkungsfreie Teilchen
• den irreduziblen Wechselwirkungen <math> K^n </math>.

Die Dyson-Gleichung, auch in Form der Dyson-Schwinger-Gleichungen, wird heute in vielen Bereichen der theoretischen Physik eingesetzt.

Siehe auch

• Bethe-Salpeter-Gleichung

Einzelnachweise

<references />

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