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Einmaleins

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Datei:Rechenbrett Multiplikation.jpg
Rechenbrett für das kleine Einmaleins

Das kleine Einmaleins (auch 1×1 oder 1mal1) ist eine Zusammenstellung aller Produkte, die sich aus der Kombination zweier natürlicher Zahlen von 1 bis 10 ergeben, meist in Tabellenform. Das große Einmaleins ist die Erweiterung auf natürliche Zahlen von 1 bis 20. Das kleine Einmaleins gehört zum arithmetischen Grundwissen der Mathematik und wird meist in der Grundschule auswendig gelernt.

Als Einmaleins werden metaphorisch auch Grundkenntnisse eines Wissensgebiets oder einer Fertigkeit bezeichnet.

Anwendung

Das kleine Einmaleins wird beim schriftlichen Multiplizieren zum Auffinden des Produkts der einzelnen Ziffern beider Faktoren verwendet. Hierfür werden nur die Produkte aus den Ziffernkombinationen <math>\textstyle 0 \cdot 0</math> bis <math>\textstyle 9 \cdot 9</math> benötigt, wobei die Produkte mit einem Faktor 0 in der Darstellung meist weggelassen werden, dafür werden aus der Tradition der Verwendung römischer Ziffern die Produkte mit einem Faktor 10 ergänzt.<ref>Stephan Weiss: The Small Multiplication Table through the Centuries in Europe. (PDF; 2,0 MB) In: Journal of the Oughtred Society, 22, Fall 2013, S. 2.</ref><ref>Stephan Weiss: Das Einmaleins durch die Jahrhunderte. (PDF; 2,2 MB) 2015.</ref>

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„Um aber das wiederholte Addieren von Ziffern zu verkürzen, ist es nützlich, eine Tabelle anzufertigen, die ins Gedächtnis des Arithmetikers eingeprägt werden muss.“{{#if: John LeslieThe Philosophy of Arithmetic || <ref name="leslie">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> }}

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– The Philosophy of Arithmetic<ref name="leslie">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
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}} Dies wird auch bei der schriftlichen Division genutzt.

Darstellung

Nach Adam Ries

Datei:De Adam Risen Rechbuch 008.jpg
Ausschnitt des Rechenbuchs von Adam Ries

In Adam Risen Rechenbuch von 1574 ist folgende Einmaleins-Tabelle dargestellt mit dem Hinweis {{ 

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 | „{{
     #ifeq: {{#if:de|de|de}} | de
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     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
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         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
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         |2=de
         |3=1}} }}

}}{{#if: Adam Ries 

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />Adam Ries{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
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 }}

}}{{#if: du mußt vor allen Dingen das Einmal eins wol wissen und auswendig lernen wie hie: 

   | {{#if: 
       | {{#if: du mußt vor allen Dingen das Einmal eins wol wissen und auswendig lernen wie hie:
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if: <ref>Adam Risen Rechenbuch auff Linien und Ziphren in allerley Hanthierung / Geschäfften unnd Kauffmanschafft. Mit neuwen künstlichen Regeln und Exempeln gemehret. 1574</ref> | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|<ref>Adam Risen Rechenbuch auff Linien und Ziphren in allerley Hanthierung / Geschäfften unnd Kauffmanschafft. Mit neuwen künstlichen Regeln und Exempeln gemehret. 1574</ref>}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | <ref>Adam Risen Rechenbuch auff Linien und Ziphren in allerley Hanthierung / Geschäfften unnd Kauffmanschafft. Mit neuwen künstlichen Regeln und Exempeln gemehret. 1574</ref> }}

}}

mal ist mal ist mal ist
1 1 1 2 8 16 5 5 25
1 2 2 2 9 18 5 6 30
1 3 3 3 3 9 5 7 35
1 4 4 3 4 12 5 8 40
1 5 5 3 5 15 5 9 45
1 6 6 3 6 18 6 6 36
1 7 7 3 7 21 6 7 42
1 8 8 3 8 24 6 8 48
1 9 9 3 9 27 6 9 54
2 2 4 4 4 16 7 7 49
2 3 6 4 5 20 7 8 56
2 4 8 4 6 24 7 9 63
2 5 10 4 7 28 8 8 64
2 6 12 4 8 32 8 9 72
2 7 14 4 9 36 9 9 81

Diese kompakte Darstellung verzichtet auf redundante Informationen unter Ausnutzung des Kommutativgesetzes (2 · 3 = 3 · 2). Sie diente als Hilfsmittel beim Rechnen auf Linien.

Tabelle

Datei:PSM V26 D467 Table of pythagoras on slats.jpg
f}}</ref>

Die ausführliche tabellarische Darstellung des kleinen Einmaleins wird Pythagoras zugeschrieben und daher in manchen Sprachen auch Pythagorasbrett bzw. Pythagorastabelle genannt, zum Beispiel im Französischen, Englischen und Italienischen, aber auch in der Montessoripädagogik.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name="leslie" /><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Die folgende Tabelle stellt das kleine Einmaleins dar.

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Unterteilt wird das Einmaleins entsprechend dem zweiten Faktor in die 1er-Reihe, 2er-Reihe, 3er-Reihe usw. bis zur 10er-Reihe. Eine Tabellenspalte stellt also die entsprechende Reihe dar. In der ersten Spalte (links) wird der erste Faktor, in der ersten Zeile (oben) wird der zweite Faktor gesucht, im Schnittpunkt der Zeile mit der Spalte steht das Produkt.

Die folgende Tabelle stellt das große Einmaleins mit Faktoren bis 20 dar (einschließlich des kleinen Einmaleins).

* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 001 002 003 004 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Reihen

Einzeln werden die Reihen des kleinen Einmaleins wie folgt dargestellt:

<poem>1er-Reihe 01 · 1 = 01 02 · 1 = 02 03 · 1 = 03 04 · 1 = 04 05 · 1 = 05 06 · 1 = 06 07 · 1 = 07 08 · 1 = 08 09 · 1 = 09 10 · 1 = 10 </poem>

<poem>2er-Reihe 01 · 2 = 02 02 · 2 = 04 03 · 2 = 06 04 · 2 = 08 05 · 2 = 10 06 · 2 = 12 07 · 2 = 14 08 · 2 = 16 09 · 2 = 18 10 · 2 = 20 </poem>

<poem>3er-Reihe 01 · 3 = 03 02 · 3 = 06 03 · 3 = 09 04 · 3 = 12 05 · 3 = 15 06 · 3 = 18 07 · 3 = 21 08 · 3 = 24 09 · 3 = 27 10 · 3 = 30 </poem>

<poem>4er-Reihe 01 · 4 = 04 02 · 4 = 08 03 · 4 = 12 04 · 4 = 16 05 · 4 = 20 06 · 4 = 24 07 · 4 = 28 08 · 4 = 32 09 · 4 = 36 10 · 4 = 40 </poem>

<poem>5er-Reihe 01 · 5 = 05 02 · 5 = 10 03 · 5 = 15 04 · 5 = 20 05 · 5 = 25 06 · 5 = 30 07 · 5 = 35 08 · 5 = 40 09 · 5 = 45 10 · 5 = 50 </poem>

<poem>6er-Reihe 01 · 6 = 06 02 · 6 = 12 03 · 6 = 18 04 · 6 = 24 05 · 6 = 30 06 · 6 = 36 07 · 6 = 42 08 · 6 = 48 09 · 6 = 54 10 · 6 = 60 </poem>

<poem>7er-Reihe 01 · 7 = 07 02 · 7 = 14 03 · 7 = 21 04 · 7 = 28 05 · 7 = 35 06 · 7 = 42 07 · 7 = 49 08 · 7 = 56 09 · 7 = 63 10 · 7 = 70 </poem>

<poem>8er-Reihe 01 · 8 = 08 02 · 8 = 16 03 · 8 = 24 04 · 8 = 32 05 · 8 = 40 06 · 8 = 48 07 · 8 = 56 08 · 8 = 64 09 · 8 = 72 10 · 8 = 80 </poem>

<poem>9er-Reihe 01 · 9 = 09 02 · 9 = 18 03 · 9 = 27 04 · 9 = 36 05 · 9 = 45 06 · 9 = 54 07 · 9 = 63 08 · 9 = 72 09 · 9 = 81 10 · 9 = 90 </poem>

<poem>10er-Reihe 01 · 10 = 010 02 · 10 = 020 03 · 10 = 030 04 · 10 = 040 05 · 10 = 050 06 · 10 = 060 07 · 10 = 070 08 · 10 = 080 09 · 10 = 090 10 · 10 = 100 </poem>

Vergleichbares in anderen Zahlensystemen und Zahlschriften

Ein Einmaleins ist aus der Zeit um Christi Geburt in Griechischer Zahlschrift überliefert. Die Aufzeichnung eines Schülers gilt als Beleg, dass zu der Zeit das Einmaleins gelehrt und gelernt wurde.<ref>Stephan Weiss: Die Multipliziertafel, ihre Ausgestaltung und Verwendung. (PDF; 11 MB) 2003</ref>

493 stellte Victorius von Aquitanien zur Erleichterung der Multiplikation und Division ein Tafelwerk mit 98 Spalten zusammen, in denen er die Produkte der Zahlen von den Brüchen bis zum Wert 1000 mit den Zahlen von 2 bis 50 in Römischer Zahlschrift angab, der sogenannte Calculus Victorii.<ref name="MaherMakowski">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Für das Sexagesimalsystem wurde von Gaspar Schott die Tabula Sexagenaria 1661 veröffentlicht.<ref>Stephan Weiss: Reconstruction and Background of Gaspar Schott’s Tabula Sexagenaria (1661). (PDF; 5,8 MB)</ref>

Siehe auch

Weblinks

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Einzelnachweise

<references />

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