Evolution (Mathematik)

In der Mathematik definiert man die Evolution <math>\Phi</math> einer Differentialgleichung <math>x'(t) = f(t, x(t))</math> als eine zweiparametrige Abbildung, gegeben durch:

wobei

<math>x(t)</math> die Lösung des Anfangswertproblems ist, das aus der o. g. Dgl. und der Anfangsbedingung <math>x(t_0) = x_0</math> besteht, und
<math>|t - t_0|</math> hinreichend klein sein soll.

In Worten: Die Evolution bildet den Wert <math>x_0</math> einer beliebigen Lösungskurve <math>x</math> zum Zeitpunkt <math>t_0</math> ab auf den Wert <math>x(t)</math> der Lösungskurve zum Zeitpunkt <math>t</math>. Sie beschreibt also die weitere Entwicklung der Lösung ausgehend vom Startpunkt <math>x_0</math>.

Die Evolution der Differentialgleichung hat folgende Eigenschaften:

<math>\Phi^{t_0,t_0}x_0 = x_0</math>
<math>\frac{d}{d\tau}\Phi^{t+\tau,t}x |_{\tau=0} = f(t,x(t))</math>
<math>\Phi^{t_2,t_1}\Phi^{t_1,t}x_0 = \Phi^{t_2,t}x_0</math> für <math>t\leq t_1\leq t_2</math> (Transitivität).

Im Fall autonomer Differentialgleichungen <math>x'=f(x)</math> ist die Startzeit <math>t_0</math> beliebig. Man schreibt dann statt <math>\Phi^{t,t_0}</math> einfach <math>\Phi^{t}</math> und bezeichnet <math>\Phi^{t}</math> als Phasenfluss.