Exhaustionsmethode
{{#if: erläutert die Exhaustionsmethode in der Mathematik; zu exhaustiven Algorithmen siehe Brute-Force-Methode.
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Die Exhaustionsmethode (von exhaurire, lat. „herausnehmen“, „erschöpfen“, „vollenden“) ist ein antikes Verfahren zur Berechnung von Flächen, also zur Integration.
Antiphon (430 v. Chr.) war überzeugt, dass man einen Kreis quadrieren könne, da sich jedes Polygon in ein Quadrat verwandeln lässt. Er ging davon aus, dass man ein Vieleck innerhalb eines Kreises ab einer bestimmten Seitenzahl nicht mehr vom Kreis unterscheiden könne und der Kreis somit völlig „erschöpft“ sei.
Mit dieser Idee entwickelte Eudoxos von Knidos die Exhaustionsmethode und berechnete so das Volumen einer Pyramide und eines Kegels. Teile davon beschrieb Euklid in seinem Werk Elemente:
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zwei gleiche Pyramiden und in zwei gleiche Prismen aufgeteilt werden, wobei die beiden Prismen
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Der griechische Gelehrte Archimedes (287–212 v. Chr.) griff dieses Verfahren 260 v. Chr. auf und berechnete so, mittels eines 96-Ecks, die Abschätzung <math>3+10/71 =3{,}14{\color{red}08\ldots} < \pi</math> und den Flächeninhalt unter einer Parabel.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Markus Ruppert|Markus Ruppert: }}{{#if:|{{#if:Bestimmung von Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Bestimmung von Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:Archimedes, der Kreis und die Kugel| Archimedes, der Kreis und die Kugel{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel=Archimedes, der Kreis und die Kugel}}}}}}|{{#if:https://www.uni-wuerzburg.de/fileadmin/10040500/mitarbeiterfiles/ruppert/ml_165/Archimedes_ungekuerzt.pdf#page=5&zoom=auto,-277,828%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Bestimmung von Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://www.uni-wuerzburg.de/fileadmin/10040500/mitarbeiterfiles/ruppert/ml_165/Archimedes_ungekuerzt.pdf#page=5&zoom=auto,-277,828}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Bestimmung von Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:Archimedes, der Kreis und die KugelUniversität Würzburg2011{{#if: 2023-09-28 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
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Das Verfahren war bis ins 17. Jahrhundert ein wichtiges Integrationsverfahren. Ludolph van Ceulen führte den Ansatz Archimedes’ bis zum <math>2^{62}</math>-Eck im Kreis fort und konnte Pi in 30-jähriger Rechenarbeit so bis auf 35 Stellen berechnen.
Literatur
- C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus, 1979, Springer New York
Weblinks
Einzelnachweise
<references />
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Mehrdeutigkeitshinweis
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Zitat
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:URL
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Datum
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- Wikipedia:Weblink offline fix-attempted
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link/URL fehlt
- Integralrechnung
- Ebene Geometrie
- Antike Mathematik