Föppl-Klammer

Die Föppl-Klammer ist eine von August Föppl eingeführte, vereinfachende Schreibweise vor allem in der Mechanik. Sie wird auch Föppl-Symbol genannt. Gelegentlich wird sie nach dem britischen Mathematiker William Herrick Macaulay auch als Macaulay-Klammer bezeichnet.<ref>D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. Wall: Technische Mechanik 1 -- Statik. 12. Auflage. Springer-Verlag, 2013, S. 198ff.</ref>

Definition

Die Föppl-Klammer ist keine mathematische Schreibweise, sie wurde von Ingenieuren für den Gebrauch in der Technischen Mechanik übernommen.

<math>

\langle x - a \rangle^n =\begin{cases} 0 & \mathrm{f\ddot ur}~x < a \\ (x-a)^n & \mathrm{f\ddot ur}~x > a\end{cases} </math>

Dieser Ausdruck bedeutet, dass die Klammer für x-Werte kleiner als <math>a</math> 0 ist, und für Werte größer als <math>a</math> den Wert einer normalen Klammer <math>(x-a)^n</math> annimmt. Dabei ist zu beachten, dass die Föppl-Klammer für <math>x = a</math> nicht definiert ist. Für Betrachtungen in diesem Punkt sind andere Beschreibungsformen (z. B. das Gleichgewicht am differentiellen Element) nötig; jedoch sind derartige Überlegungen in den meisten Fällen nicht erforderlich.

Insbesondere beschreibt:

<math>\langle x - a \rangle^0 =\begin{cases} 0 & \mathrm{f\ddot ur}~x < a \\ 1 & \mathrm{f\ddot ur}~x > a\end{cases}</math>

Somit lassen sich Sprünge, z. B. in einem Kraftverlauf, durch Multiplikation der Klammer mit der Kraft (siehe Beispiel) modellieren.

Ableitung und Stammfunktion sind ebenfalls definiert:

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\langle x - a \rangle^n = n\langle x - a \rangle^{n-1}</math>

<math>\int \langle x - a \rangle^n \mathrm dx = \frac{1}{n+1}\langle x - a \rangle^{n+1} + C</math>

Bei der Differentiation und bei der Integration kann das Klammersymbol wie eine runde Klammer angesehen werden.

Verwendung

Die Föppl-Klammer erlaubt es die Kraft- und Momentenverläufe an Biegebalken und Balken in kurzer Form darzustellen. Ohne diese Darstellung wären für jede angreifende Kraft und jedes angreifende Moment eine Fallunterscheidung zu treffen.

Die Exponenten einer Föppl-Klammer sind entsprechend dem Kraft- oder Momentenverlauf zu wählen. Beispiele: Die Flächenbelastung q(x) ist konstant: n=0; eine Kraft oder ein Moment greifen an: n=0; die Flächenbelastung q(x) ist linear: n=1; die Flächenbelastung q(x) ist quadratisch: n=2; die Flächenbelastung q(x) ist kubisch: n=3 usw.

Bei der Berechnung der Querkraft Q(x) durch Integration z. B. bei einer linearen Flächenbelastung q(x) mit n=1 ergibt sich für Q(x) der Exponent n=2 und durch weitere Integration für das Biegemoment M(x) der Exponent n=3.

Beispiel

Ein Balken der Länge l ist in seinen Endpunkten A und D statisch bestimmt gelagert. Er wird im Punkt B durch die Kraft F und im Punkt C durch das Moment M belastet.

Datei:Foeppl.PNG

Es gilt für den Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen:

<math>\frac{\mathrm dQ}{\mathrm dx} = -q \qquad \frac{\mathrm dM}{\mathrm dx} = Q</math>

Der Querkraftverlauf (in z-Richtung) folgt der Formel:

mit Föppl-Klammer:

<math>Q(x) = - F_{Az} + F \langle x - f \rangle^0</math>

Erklärung: Der Querkraftverlauf entspricht links von der Stelle f der negativen Auflagerkraft F_Az, da die Föppl-Klammer bei x < f als Null definiert ist. Rechts von der Stelle f nimmt der Term den Wert 1 an, was dazu führt, dass die Last F in den Querkraftverlauf durch einen Sprung mit einfließt.

ohne Föppl-Klammer:

<math>Q(x) = \begin{cases} - F_{Az} & \mathrm{f\ddot ur}~0 < x < f \\ - F_{Az} + F & \mathrm{f\ddot ur}~f < x < l \end{cases}</math>

Der Biegemomentverlauf (um die y-Achse) folgt der Formel:

mit Föppl-Klammer:

<math>M_y(x)= - F_{Az} x + F \langle x - f \rangle^1 + M \langle x - m \rangle^0</math>

ohne Föppl-Klammer:

<math>M(x) = \begin{cases} - F_{Az} x & \mathrm{f\ddot ur}~0 < x < f \\ - F_{Az} x + F (x - f) & \mathrm{f\ddot ur}~f < x < m \\ - F_{Az} x + F (x - f) + M & \mathrm{f\ddot ur}~m < x < l \end{cases}</math>

Siehe auch

Einzelnachweise