Fahne (Mathematik)
Als Fahne wird in der linearen Algebra eine Folge von Vektorräumen aufsteigender Dimension mit einer echten Teilmengenbeziehung bezeichnet. Der Name stammt daher, dass die ersten drei Vektorräume – Punkt, Gerade, Ebene – wie eine gewöhnliche Fahne angeordnet werden können.
Definition
Eine Fahne in einem (meist endlichdimensionalen) Vektorraum <math>V</math> über einem Körper <math>K</math> ist eine endliche Folge <math>(V_0,V_1,\ldots,V_n)</math> von Untervektorräumen von <math>V</math> mit <math>V_0=0</math> und <math>V_n=V</math>, so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.
- <math>V_0 \subsetneq V_1 \subsetneq \ldots \subsetneq V_n.</math>
Ist <math>\dim V=n</math> oder äquivalent dazu <math>\dim V_i = i</math> für <math>i=0,\ldots,n</math>, so spricht man von einer vollständigen Fahne. Manche Autoren beschäftigen sich nur mit vollständigen Fahnen und sprechen dann von Fahnen schlechthin.
Beispiele
Ist <math>(v_1,\ldots,v_d)</math> eine Basis von <math>V</math>, so ist durch
- <math>V_i=\langle v_k\mid 1\leq k\leq i\rangle_K</math>
eine vollständige Fahne definiert. Das Datum der Fahne ist jedoch schwächer, verschiedene Basen können dieselbe Fahne erzeugen.
Typ von Fahnen
Sind <math>(V_i)_{i=0,\ldots,n}</math> und <math>(W_i)_{i=0,\ldots,n}</math> zwei Fahnen, die aus derselben Anzahl von Unterräumen bestehen und für die
- <math>\dim V_i=\dim W_i</math> für <math>i=0,\ldots,n</math>
gilt, so sagt man, dass <math>(V_i)_i</math> und <math>(W_i)_i</math> denselben Typ haben. Die Typen von Fahnen sind durch die Partitionen der Zahl <math>\dim V</math> bestimmt. Zwei Fahnen vom selben Typ gehen stets durch einen Automorphismus von <math>V</math> auseinander hervor.
Verwendung
Ist <math>A</math> ein Endomorphismus von <math>V</math>, und gilt
- <math>A\cdot V_i\subseteq V_i,</math> für alle <math>i</math>
so heißt die Fahne unter <math>A</math> invariant oder stabil. Ist die Fahne vollständig, so impliziert die Existenz einer invarianten Fahne, dass es eine Basis von <math>V</math> gibt, bezüglich der <math>A</math> durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt wird (Trigonalisierung). Für allgemeinere Fahnen ergibt sich eine Blockdreiecksform, die durch den Typ der Fahne bestimmt ist.
Verwandte Begriffe
- Die Menge aller Automorphismen von <math>V</math>, die eine gegebene Fahne stabilisieren, bildet eine parabolische Untergruppe von <math>\mathrm{GL}(V)</math>.
- Die Menge aller Fahnen eines Typs wird als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet. Da <math>\mathrm{GL}(V)</math> transitiv auf der Menge aller Fahnen eines Typs operiert, lassen sich Fahnenmannigfaltigkeiten als homogene Räume von <math>\mathrm{GL}(V)</math> darstellen.
Literatur
- Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
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