Fehlergrenze

In der praktischen Messtechnik sind die Fehlergrenzen (auch: Fehlermarge, englisch margin of error) vereinbarte oder garantierte Höchstwerte für positive oder negative Abweichungen der Anzeige (Ausgabe) einer Messeinrichtung vom richtigen Wert.<ref name="D19">DIN 1319-1:1995-01, Grundlagen der Messtechnik – Grundbegriffe, Nr. 5.12.</ref> Fehlergrenzen sind begrifflich streng zu unterscheiden von den tatsächlichen Messabweichungen und von der Messunsicherheit.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Bei Messgeräten werden im Allgemeinen eine Abweichung innerhalb einer Fehlergrenze unter festgelegten Bedingungen vom Hersteller garantiert. Fehlergrenzen hängen ab vom technischen Aufwand und von prinzipiellen Grenzen. Der Betrag der zufälligen Messabweichungen ist häufig gegenüber der Fehlergrenze vernachlässigbar klein; sonst muss er bei der Festlegung der Fehlergrenze berücksichtigt werden.<ref name="D19" />

In einer neueren messtechnischen Norm wird statt des Begriffs Fehlergrenze der Begriff Grenzabweichung verwendet.<ref>DIN EN 60751:2009-05.</ref> Außerhalb der Messtechnik entspricht dem Begriff Fehlergrenze der Begriff Abweichungsgrenzbetrag.<ref>DIN 55350-12:1989:03, Begriffe der Qualitätssicherung und Statistik – Merkmalsbezogene Begriffe.</ref>

Definitionen

Es gibt eine obere und eine untere Fehlergrenze. Meistens sind beide gleich groß und werden dann als symmetrischen Fehlergrenzen <math>G</math> bezeichnet. Die Fehlergrenzen sind stets Beträge und werden daher ohne Vorzeichen angegeben.<ref name="D19" />

Es gilt für die (absolute) Abweichung bzw. den (absoluten) Fehler <math>F:</math>

Entsprechend gibt es eine relative Fehlergrenze <math>g</math> derart, dass für die relative Abweichung bzw. den relativen Fehler <math>f</math> gilt:

Die Bezugsgröße für die relative Fehlergrenze ist wie beim relativen Fehler der richtige Wert <math>x_r:</math>

Schreibweise

Der angezeigte (ausgegebene) Wert <math>x_a</math> liegt dann in einem Bereich

Dieses wird verkürzt zur Schreibweise

was keineswegs so gedeutet werden darf, als ob <math>x_a</math> nur zwei Werte annehmen könnte.

Soll die relative Fehlergrenze im Ergebnis vorkommen, so ist das möglich, indem <math>x_r</math> ausgeklammert wird:

<math>x_a = x_r\cdot\left(1\pm \frac G{x_r} \right) = x_r\cdot(1\pm g).</math>

Keineswegs darf <math>x_r \pm g</math> geschrieben werden, weil dann ein Wert mit der Einheit der Messgröße und ein Wert mit der Einheit Eins zu addieren wären.

Quantitative Angaben

Bei der quantitativen Angabe von Unsicherheiten und Fehlergrenzen ist die Qualität einer Angabe im Blick zu behalten.

Beispiel: Eine Angabe „5 %“ dürfte eine Schätzung beinhalten und für „etwa 5 %“ stehen; die „5“ ist in diesem Zusammenhang niemals mathematisch exakt, dass man ihr nach dem Komma beliebig viele Nullen anhängen könnte. Eine Angabe „4,8 %“ wird kaum ein Indiz erhöhter Sorgfalt sein.

Aus einer „groben“ Ausgangsposition lassen sich keine „feinen“ Ergebnisse ableiten, denn aus den Regeln zur Fehlerfortpflanzung von Fehlergrenzen bei voneinander unabhängigen Werten ergibt sich (siehe unten: Rechnen mit Fehlergrenzen):

Das Ergebnis kann nie genauer werden als das, was hineingesteckt wird. (Eine Ausnahme gilt bei zufälligen Fehlern: Hier wird nach wiederholten Messungen der Mittelwert genauer als der Einzelmesswert).

Beispiel: 5 %·15,6 V = 0,8 V und nicht 0,78 V,

es sei denn, 5,0 % kann verantwortlich angegeben werden.

Diese Forderung entspricht der Forderung in DIN 1333: Unsicherheiten werden mit einer signifikanten Stelle angegeben, ausgenommen bei den Ziffern 1 oder 2, dann werden zwei signifikante Stellen angegeben.

Beispiel: 5 %·35,6 V = 1,8 V und nicht 2 V.

Eine führende Null ist nicht signifikant.

Beispiel: Die Angabe 0,8 V enthält nur eine signifikante Stelle.

Es liegt im Begriff des Grenzwertes, dass nur auf- und nicht abgerundet werden darf; entsprechendes gilt für die Unsicherheit nach DIN 1333. Eigentlich wäre eine Fehlergrenze 5 %·6,2 V = 0,31 V auf 0,4 V auf- und nicht auf 0,3 V abzurunden; doch sollte man hier ein gewisses Augenmaß behalten, denn bereits 4,8 %·6,2 V < 0,3 V.

Es ist nicht falsch, in Zwischenschritten genauer zu rechnen, damit sich Rundungsfehler nicht aufschaukeln, und erst im Ergebnis dessen Fehlergrenzen zu beachten, siehe auch Signifikante Stellen.

Angaben und Beispiele zu Messgeräte-Fehlergrenzen findet man

für analoge elektrische Messgeräte unter Genauigkeitsklasse gemäß DIN EN 60051,
für digitale elektrische Messgeräte unter Digitalmultimeter, Messgerätefehler.

Fehlergrenze in der Statistik und Demoskopie

In der Statistik und Meinungsforschung bezeichnet die Fehlergrenze den maximalen zu erwartenden Unterschied zwischen dem Ergebnis einer Stichprobenerhebung und dem wahren Wert in der Grundgesamtheit. Die Fehlergrenze errechnet sich aus der Größe der Stichprobe, dem zugrunde gelegten Konfidenzniveau sowie dem Stichprobenanteil – also dem Anteil der Befragten, welche die betrachtete Ausprägung ausgewählt haben. Das Konfidenzniveau gibt die Präzision einer Lageschätzung eines Parameters (z. B. eines Mittelwerts) an. Häufig werden Konfidenzniveaus von 90, 95 oder 99 Prozent verwendet.<ref>{{#if:|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|Vorlage:FormatDate/Wartung/Error}}| |}}}}{{#if:|{{{autor}}}: }}{{#if:|{{#if:Definition Fehlergrenze|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1={{{archiv-url}}}}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Definition Fehlergrenze}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:https://de.statista.com/statistik/lexikon/definition/56/fehlergrenze/%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7C}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Definition Fehlergrenze}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://de.statista.com/statistik/lexikon/definition/56/fehlergrenze/}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Definition Fehlergrenze}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:statista.com{{#if: 2026-03-07 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}

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Eine häufig verwendete Formel ist die Standardfehlerformel, die die Standardabweichung der Stichprobe und die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs nutzt. Für einen Stichprobenanteil p bei einem Stichprobenumfang n und dem zum Konfidenzniveau gehörigen z-Wert:

Je größer die Stichprobe, desto kleiner die Fehlergrenze – und desto präziser die Schätzung.

Die Fehlergrenze ist besonders wichtig in Bereichen wie der politischen Meinungsforschung, Marktforschung und sozialwissenschaftlichen Forschung, da sie hilft, die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Ergebnisse zu bewerten.

Rechnen mit Fehlergrenzen

Kann man ein Messergebnis <math>y</math> erst aus mehreren voneinander unabhängigen Messwerten <math>x_i</math> ausrechnen, so ist mathematisch gesagt <math>y</math> eine Funktion von mehreren unabhängigen Variablen <math>x_i:</math>

<math>y=y(x_1,\ x_2,\ \cdots)</math>

Änderungen der unabhängigen Variablen um ein kleines <math>\Delta x_i</math> werden mit der Funktion übertragen und führen zu einer Änderung der abhängigen Variablen um ein <math>\Delta y,</math> und zwar gemäß den Regeln der Mathematik:

<math>\Delta y \approx \frac{\partial y}{\partial x_1} \Delta x_1 + \frac{\partial y}{\partial x_2}\Delta x_2 +\cdots.</math>

Kennt man nicht die Änderungen (Messfehler oder Messabweichungen) selber, sondern nur ihre Grenzwerte (Fehlergrenzen) <math>G_i,</math> so lässt sich damit auch nur die Fehlergrenze <math>G_y</math> des Ergebnisses angeben; dabei ist im Sinne des Grenzwertes die ungünstigste Vorzeichenkombination der Summanden zu Grunde zu legen:

<math>G_y = \left| \frac{\partial y}{\partial x_1}\right| G_1 + \left| \frac{\partial y}{\partial x_2}\right| G_2 + \cdots.</math>

Diese Formel vereinfacht sich für die vier Grundrechenarten zu leicht merkbaren Regeln:

bei Addition und Subtraktion <math>\quad G_y =G_1 +G_2 +\cdots,</math>

also Summe der absoluten Fehlergrenzen,

und mit Verwendung der relativen Fehlergrenzen <math>g_i =G_i/|x_i|\ {;} \quad g_y =G_y/|y|.</math>

bei Multiplikation und Division <math>\quad g_y =g_1 +g_2 +\cdots,</math>

also Summe der relativen Fehlergrenzen.

Beispiel: Mit dem ohmschen Gesetz <math>U=I\cdot R</math> soll <math>U</math> aus <math>I</math> und <math>R</math> bestimmt werden.

Wenn <math>I</math> = 2 mA · (1 ± 2 %) und <math>R</math> = 12 kΩ · (1 ± 5 %), dann <math>U</math> = 24 V · (1 ± 7 %).

Siehe auch

Einzelnachweise