Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac) mit Index <math>j</math> definiert als

<math>F_j(x) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_0^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,\mathrm{d}t</math>

wobei <math>\Gamma(\cdot)</math> die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

<math>F_j(x, b) = \frac{1}{\Gamma(j+1)} \int_b^\infty \frac{t^j}{\exp(t-x) + 1}\,\mathrm{d}t</math>

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F_1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral <math>F_{1/2}(x)</math> berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen <math>t:=\tfrac{E-E_{c}}{kT}</math> sowie <math>x:=\tfrac{\mu-E_{c}}{kT}</math>, sodass <math>\mathrm{d}E=kT\,\mathrm{d}t</math>:

<math>n=N\int_{E_{c}}^{\infty}\frac{\sqrt{E-E_{c}}}{\exp\left(\frac{E-\mu}{kT}\right)+1}\,\mathrm{d}E=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{t}}{\exp\left(t-x\right)+1}\,\mathrm{d}t=N\left(kT\right)^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}F_{1/2}(x)</math>

Näherung für F_1/2

Das Integral <math>F_{1/2}(x)</math> lässt sich für verschiedene Wertebereiche von <math>x</math> näherungsweise lösen:

<math>\tilde{F}_{1/2}(x)=\begin{cases}

\frac{1}{e^{-x}+0{,}27} & \text{wenn }\ -\infty<x<1{,}3\\ \frac{4}{3\sqrt{\pi}}\left(x^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}\right)^{3/4} & \text{wenn }\ \,1{,}3\leq x<\infty\end{cases}</math>

Der relative Fehler dieser Näherungslösung <math>\left(\tilde{F}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)</math> beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei <math>x=0</math> und bei <math>x=1{,}3</math>). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich <math>F_{1/2}(x)</math> durch zwei Funktionen annähern:

<math>F_{1/2}(x)\approx e^{x}</math>   für   <math>-x\gg 1</math>

<math>F_{1/2}(x)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi}}x^{3/2}</math>   für   <math>x\gg 1</math>

Darstellung mit Polylogarithmen

Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

<math>\mathrm{F}_j(x)=-\mathrm{Li}_{j+1}(-e^x)</math>.

Wegen

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{Li}_n(x)=\frac1x \mathrm{Li}_{n-1}(x)</math>

folgt daraus

<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \mathrm{F}_j(x)=\mathrm{F}_{j-1}(x)</math>.

Weblinks

• GNU Scientific Library – Reference Manual

Literatur

• J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982.