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Friedrichssche Erweiterung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Die Friedrichssche Erweiterung (nach Kurt Friedrichs) ist eine mathematische Konstruktion, nach der bestimmte dicht-definierte lineare Operatoren in Hilberträumen zu selbstadjungierten Operatoren erweitert werden können.

Halb-beschränkte Operatoren

Wir betrachten einen linearen Operator <math>A</math>, der auf einem dichten Teilraum eines Hilbertraums <math>H</math> definiert ist. Dieser Teilraum heißt der Definitionsbereich von <math>A</math> und wird mit <math>D(A)</math> bezeichnet. Unter bestimmten Umständen, um die es in diesem Artikel geht, kann man den Operator <math>A</math> zu einem auf einem <math>D(A)</math> umfassenden Teilraum erweitern, so dass der erweiterte Operator selbstadjungiert ist.

Ein dicht-definierter Operator <math>A</math> heißt halb-beschränkt, falls es eine reelle Zahl <math>c</math> gibt, so dass <math>\langle A\xi,\xi \rangle \ge c\|\xi\|^2</math> für alle <math>\xi \in D(A)</math>. Offenbar sind positive Operatoren halb-beschränkt und halb-beschränkte Operatoren sind symmetrisch, denn nach Definition sind alle <math>\langle A\xi,\xi \rangle</math> reell.

In der Quantenmechanik auftretende Operatoren sind häufig halb-beschränkt, das <math>c</math> steht dann etwa für eine untere Energie-Schranke. Es stellt sich dann in natürlicher Weise die Frage, ob ein solcher Operator eine selbstadjungierte Erweiterung hat, diese ist dann eine quantenmechanische Observable.

Der Begriff des halb-beschränkten Operators wurde zuerst von Aurel Wintner eingeführt. Später hat Kurt Friedrichs die Theorie der halb-beschränkten Operatoren weiterentwickelt.<ref>Franz Rellich: {{#switch: 

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Energetischer Raum

Sei <math>A</math> ein halb-beschränkter Operator mit <math>\langle A\xi,\xi \rangle \ge c\|\xi\|^2</math> für alle <math>\xi \in D(A)</math> und <math>\lambda</math> sei eine reelle Zahl mit <math>\lambda+c > 0</math>. Sei

<math>[\xi,\eta]_\lambda := \langle A\xi,\eta\rangle + \lambda \langle \xi,\eta\rangle</math> für <math>\xi,\eta\in D(A)</math>.

Dann ist <math>[\cdot,\cdot ]_\lambda </math> eine positiv definite Form auf <math>D(A)</math> und man kann daher die Norm <math>\|\xi\|_\lambda := \sqrt{[\xi,\xi]_\lambda}</math> auf <math>D(A)</math> definieren. <math>D(A)</math> ist mit dieser Norm in der Regel kein vollständiger Raum; das führt zu folgender Konstruktion.

<math>H_\lambda := \{\xi \in H; {\rm Es\, gibt\, eine\, Folge}\, (\xi_n)_n \,{\rm in} \,D(A)\, {\rm mit} \|\xi_n-\xi\|\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow} 0 \, {\rm und} \,\|\xi_n-\xi_m\|_\lambda \stackrel{n,m\to\infty}{\longrightarrow} 0 \}</math>.

Beachte, dass sich die erste Grenzwert-Bedingung auf die Hilbertraum-Norm auf <math>H</math> bezieht. Eine Folge <math>(\xi_n)_n</math> in der Definition von <math>H_\lambda</math> heißt eine approximierende Folge für <math>\xi\in H_\lambda</math>. Offenbar ist <math>D(A)\subset H_\lambda</math>, denn für <math>\xi \in D(A)</math> kann man als approximierende Folge die konstante Folge <math>\xi_n =\xi</math> wählen. Man kann nun folgende Aussagen beweisen:

  • Sind <math>\xi,\eta \in H_\lambda</math> mit approximierenden Folgen <math>(\xi_n)_n</math> und <math>(\eta_n)_n</math>, so existiert der Limes <math>[\xi,\eta]_\lambda := \lim_{n\to\infty}[\xi_n,\eta_n]_\lambda</math> und setzt die auf <math>D(A)</math> definierte Form fort.
  • <math>H_\lambda</math> ist mit der positiv definiten Form <math>[\cdot,\cdot]_\lambda</math> ein Hilbertraum.
  • Ist auch <math>\mu</math> eine reelle Zahl mit <math>\mu+c>0</math>, so ist <math>H_\lambda = H_\mu \subset H</math> als Mengen, die durch <math>[\cdot,\cdot]_\lambda</math> bzw. <math>[\cdot,\cdot]_\mu</math> definierten Normen sind äquivalent.

Der Raum <math>H_\lambda</math> hängt also nur von <math>A</math> und nicht vom speziellen <math>\lambda</math> ab; er wird daher mit <math>H_A</math> bezeichnet und heißt der energetische Raum von <math>A</math>.

Friedrichssche Erweiterung

Sei <math>A</math> ein halb-beschränkter Operator. Dann ist <math>A</math> symmetrisch, das heißt, es gilt <math>A\subset A^*</math>, wobei <math>A^*</math> der adjungierte Operator ist. Definiert man

<math>A_F\xi := A^*\xi</math> für <math>\xi \in D(A_F):= H_A\cap D(A^*)</math>,

so ist <math>A_F</math> ein selbstadjungierter Operator, der <math>A</math> erweitert. <math>A_F</math> heißt die Friedrichssche Erweiterung von <math>A</math>.

Man beachte, dass im Allgemeinen weder <math>A</math> noch <math>A^*</math> selbstadjungiert ist. Erst durch obige geschickte Wahl des Definitionsbereichs erhält man einen zwischen <math>A</math> und <math>A^*</math> gelegenen selbstadjungierten Operator, der die Einschränkung von <math>A^*</math> auf diesem Teilraum ist. Es ist daher <math>A\subset A_F \subset A^*</math>

Quellen

Einzelnachweise

<references />

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