Algebraische Zahl

Die Quadratwurzel von 2 ist eine algebraische Zahl, und zwar die Länge der Hypotenuse eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1.

Die Quadratwurzel aus 2 ist eine algebraische Zahl, denn sie ist Lösung der Gleichung <math>x^2-2=0</math>.

In der Mathematik ist eine algebraische Zahl <math>x</math> eine reelle oder komplexe Zahl, welche Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer als Null<ref group="A">Es liegt demnach eine nichtkonstante Polynomfunktion vor.</ref>

<math>f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0</math>

mit rationalen Koeffizienten <math>a_k \in \Q</math> für <math>k=0, \dotsc, n</math> und <math>a_n \neq 0</math> ist, für die also die Gleichung <math>f(x) = 0</math> erfüllt ist.<ref>Algebraic number. In: EncyclopediaOfMath.org. Encyclopedia of Mathematics, 14. Februar 2020, ehemals im Vorlage:IconExternal (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 28. Mai 2023.@1@2 (Seite nicht mehr abrufbar. Suche im Internet Archive (T)) </ref>

Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine echte Teilmenge <math>\mathbb A</math> der komplexen Zahlen <math>\C</math>. Offenbar ist jede rationale Zahl <math>q</math> algebraisch, da sie die Gleichung <math>x - q = 0</math> löst. Es gilt also <math>\Q \subsetneq \mathbb A \subsetneq \C</math>.

Eine nicht algebraische reelle oder komplexe Zahl wird als transzendente Zahl bezeichnet.

Ebenfalls gebräuchlich (und gleichwertig) ist die Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten. Sie ist äquivalent zur oben angegebenen. Das bedeutet: Für das genannte nichtkonstante Polynom

<math>f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0</math>

können Koeffizienten <math>a_k \in \Z</math> für <math>k=0, \dotsc, n</math> und <math>a_n \neq 0</math> zu Grunde gelegt werden.<ref name="Scheid-Schwarz">Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Arithmetik und der Algebra. 6. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2016, ISBN 978-3-662-48773-0, S. 168. </ref><ref group="A">Denn jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Das so gegebene neue Polynom hat dieselben Nullstellen wie das ursprüngliche.</ref>

Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man normieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten <math>a_n</math> dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man ganzalgebraische Zahlen oder auch ganze algebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen, der aber nicht faktoriell ist.<ref name=":0">Alexander Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-45974-3, S. 71 (eingeschränkte Vorschau in der Google-BuchsucheSkriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:GoogleBook“ ist nicht vorhanden. [abgerufen am 27. Mai 2023]). </ref> Zum allgemeinen Begriff der Ganzheit siehe Ganzheit (kommutative Algebra).

Man kann den Begriff der algebraischen Zahl zu dem des algebraischen Elements erweitern, indem man die Koeffizienten des Polynoms statt aus <math>\mathbb Q</math> aus einem beliebigen Körper entnimmt.

Grad und Minimalpolynom einer algebraischen Zahl

Für viele Untersuchungen algebraischer Zahlen sind der im Folgenden definierte Grad und das Minimalpolynom einer algebraischen Zahl wichtig.

Ist <math>x</math> eine algebraische Zahl, die eine algebraische Gleichung

<math>f(x) = x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_{1} x + a_{0} = 0</math>

mit <math>n \geq 1</math>, <math>a_k \in \mathbb{Q}</math> erfüllt, aber im Fall <math>n \geq 2</math> keine derartige Gleichung geringeren Grades, dann nennt man <math>n</math> den Grad von <math>x</math>.<ref name=":1">Algebraische Zahl. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8. </ref> Damit sind alle rationalen Zahlen vom Grad 1. Alle irrationalen Quadratwurzeln rationaler Zahlen sind vom Grad 2.

Die Zahl <math>n</math> ist gleichzeitig der Grad des Polynoms <math>f</math>, des sogenannten Minimalpolynoms von <math>x</math>.<ref name=":1" />

Beispiele

Beispielsweise ist <math>\sqrt{2}</math> eine ganze algebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung <math>x^2 - 2 = 0</math>. Ebenso ist die imaginäre Einheit <math>i</math> als Lösung von <math>x^2 + 1 = 0</math> ganzalgebraisch.
<math>\sqrt{2} + \sqrt{3}</math> ist eine ganze algebraische Zahl vom Grad 4. Siehe dazu Beispiel für algebraisches Element.
<math>\tfrac 12</math> und <math>\tfrac 1\sqrt{2}</math> sind Beispiele für algebraische Zahlen 1. bzw. 2. Grades, die nicht ganzalgebraisch sind.
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass die Kreiszahl <math>\pi</math> und die Eulersche Zahl <math>e</math> nicht algebraisch sind.<ref name=":0" /> Von anderen Zahlen, wie zum Beispiel <math>\pi + e</math>, weiß man bis heute nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind.<ref group="A">Siehe dazu den Artikel Transzendente Zahl!</ref>

Eigenschaften

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar<ref name="Scheid-Schwarz" /> und bildet einen Körper.

Der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, d. h., jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von <math>\Q</math> und ist damit dessen algebraischer Abschluss. Man schreibt ihn oft als <math>\overline{\Q}</math> (für „algebraischer Abschluss von <math>\Q</math>“; verwechselbar mit anderen Abschlussbegriffen) oder als <math>\mathbb A</math> (für „Algebraische Zahlen“).

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper, etwa die Menge aller Zahlen der Form <math>a + b \cdot q</math>, wobei <math>a</math> und <math>b</math> rationale Zahlen sind sowie <math>q</math> irrational und Quadratwurzel einer rationalen Zahl <math>r</math> ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus <math>\{0,1\}</math> konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.<ref group="A">Skriptfehler: Ein solches Modul „Vorlage:Siehe auch“ ist nicht vorhanden.!</ref>

Im Rahmen der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nichtlösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) sowie durch Ziehen n-ter Wurzeln (n eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen „durch Radikale darstellbar“), algebraisch ist, umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen mindestens 5. Grades.

Literatur

Alan Baker: Transcendental Number Theory. Cambridge University Press, London 1975, ISBN 0-521-20461-5 (Eintrag im Zentralblatt).
Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie (= Springer-Lehrbuch). 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1992, ISBN 3-540-55178-6 (Eintrag im Zentralblatt).
G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman, with a foreword by Andrew Wiles. 1st edition 1938. 6. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2008, ISBN 978-0-19-921985-8.

Weblinks

Barry Mazur: Algebraic Numbers. (PDF; 272 kB).
Eric W. Weisstein: Algebraic number. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

Anmerkungen