Gebrochene Brownsche Bewegung
Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen <math>(X^H(t))_{t \geq 0}</math>, welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:
- <math>E[X^H(t) X^H(s)]=\frac{1}{2} (t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H}),</math>
wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.
Eigenschaften
Selbstähnlichkeit
<math>X^H</math> ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse <math>(X^H(ct))_{t \geq 0}</math> und <math>(c^H X^H(t))_{t \geq 0}</math> für jedes feste c > 0 dieselbe Verteilung besitzen.
Stationäre Inkremente
Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung
- <math>E[(X^H(t) - X^H(s))^2] = |t-s|^{2H}, \quad t,s \geq 0. </math>
Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:
- falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
- falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
- falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.
Pfadeigenschaften
Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index <math>\alpha</math> für jedes <math>\alpha < H</math>.
Stochastische Integration
Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.
Siehe auch
Weblinks
Quellen
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