Gell-Mann-Matrizen
Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Erzeugenden der speziellen unitären Gruppe SU(3).
Diese Gruppe hat acht hermitesche Erzeugende, die man als <math>T_i</math> mit <math>i = 1,\dotsc,8</math> schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)
- <math>\left[T_i,T_j\right]={\mathrm i}\,f^{ijk}\,T_k</math>
(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die <math>f^{ijk}</math> werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:
- <math>
f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=\frac{1}{2},~f^{156}=f^{367}=-\frac{1}{2},~f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2} </math> Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Erzeugende der Gruppe verwenden.
Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Erzeugenden sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
- <math>T_i=\frac{1}{2}\lambda_i</math>
Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:
| <math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> | <math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i & 0 \\ \mathrm i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> | <math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> |
| <math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> | <math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\mathrm i \\ 0 & 0 & 0 \\ \mathrm i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math> | |
| <math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math> | <math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\mathrm i \\ 0 & \mathrm i & 0 \end{pmatrix}</math> | <math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} .</math> |
Die ersten drei <math>\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3</math> erkennt man praktisch als die drei Pauli-Matrizen wieder, die eine SU(2) Untergruppe erzeugen.
Die <math>\lambda</math>-Matrizen haben folgende Eigenschaften:
- Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
- Sie sind spurlos, das heißt <math>\operatorname{tr}(\lambda_i)=0</math>.
- Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt <math>\operatorname{tr}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij}</math>.
Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.
Siehe auch
- Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
- Quarks