Generischer Punkt

Der Begriff des generischen Punktes gehört zum mathematischen Teilgebiet der mengentheoretischen Topologie, findet jedoch hauptsächlich in der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition

Ein Punkt <math>\eta</math> eines topologischen Raumes <math>X</math> heißt generisch, wenn <math>X</math> der Abschluss der Teilmenge <math>\{\eta\}</math> ist. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass <math>\eta</math> in jeder offenen Teilmenge ungleich der leeren Menge enthalten ist.

Eigenschaften

• Räume, die einen generischen Punkt besitzen, sind stets irreduzibel.
• Erfüllt ein Raum das Trennungsaxiom T₀, so besitzt er höchstens einen generischen Punkt.
• In Hausdorffräumen, die mehr als einen Punkt enthalten, gibt es keine generischen Punkte.
• Ist <math>x</math> ein Punkt eines beliebigen topologischen Raumes <math>X</math>, so ist der Abschluss von <math>\{x\}</math> in <math>X</math> eine irreduzible Teilmenge <math>Y</math> von <math>X</math>, und <math>x</math> ist ein generischer Punkt von <math>Y</math>.

Beispiel aus der algebraischen Geometrie

Ist <math>A</math> ein Integritätsring, so ist das Nullideal <math>\{0\}</math> der (einzige) generische Punkt des Spektrums <math>\operatorname{Spec}A</math>; der Restklassenkörper des generischen Punktes ist der Quotientenkörper von <math>A</math>.

Bedeutung für die algebraische Geometrie

Ist <math>X</math> ein irreduzibles Schema und <math>\eta</math> sein generischer Punkt, so sind häufig Aussagen über offene Teilmengen von <math>X</math> äquivalent zu den entsprechenden Aussagen für <math>\eta</math>. Ist beispielsweise <math>M</math> eine kohärente Garbe auf <math>X</math>, so ist <math>M_\eta=0</math> äquivalent zu <math>M_x=0</math> für alle <math>x</math> in einer geeigneten offenen Teilmenge von <math>X</math>.

Verwandte Begriffe

Besitzt in einem topologischen Raum jede irreduzible Teilmenge einen generischen Punkt, so heißt der Raum nüchtern.

Literatur

• Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 87). Vieweg, Braunschweig u. a. 1997, ISBN 3-528-07287-3, S. 69–70.