Geschwindigkeitspotential
Das Geschwindigkeitspotential <math>\phi</math> führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen der Fluiddynamik ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.
Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall – der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.
Löst man die Gleichung <math>\phi (x,y)= \text{const.}</math>, so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.
Außerdem führt man die Stromfunktion <math>\psi</math> ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung <math>\psi(x,y) = \text{const.}</math> die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.
Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das komplexe Geschwindigkeitspotential.
Grundlagen
Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld <math>\vec u(x,y)</math> gilt, dass die Rotation gleich 0 ist:
- <math>\vec \nabla \times \vec u(x,y) = 0</math>
Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential <math>\phi (x,y)</math> ein. Der Gradient dieses Potentials ist dabei gerade das Strömungsfeld:
- <math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">\vec u(x,y) = \vec \nabla \phi(x,y) = \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} , \frac{\partial \phi}{\partial y} \right)</math>
Wegen <math>\vec \nabla \times \vec \nabla \phi(x,y) = 0</math> ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.
Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:
- <math>\vec \nabla \cdot \vec u(x,y) = 0</math>
Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass <math>\phi (x,y)</math> die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung) erfüllt:
- <math>\vec \nabla \cdot \vec u(x,y) = \vec \nabla \cdot \vec \nabla \phi(x,y) = \Delta \phi(x,y) = 0</math>
Die Stromfunktion
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Das Geschwindigkeitspotential <math>\phi (x,y)</math> wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.
Nun führt man die Stromfunktion <math>\psi (x,y)</math> ein, die definiert ist durch:
- <math>\vec u = \left( \frac{\partial \psi}{\partial y},- \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)</math>
Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:
- <math>\vec \nabla \cdot \vec u = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x \cdot \partial y} - \frac{\partial^2 \psi}{\partial y \cdot \partial x} = 0</math>
Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:
- <math>\frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = 0</math>
Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.
Komplexes Geschwindigkeitspotential
Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential <math>\phi</math> und Stromfunktion <math>\psi</math> ergibt sich:
- <math>u_x = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y} \quad \wedge \quad u_y = \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}</math>
Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil <math>\phi</math> und Imaginärteil <math>\psi</math>. Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential <math>w(z)</math> ein:
- <math>w(z) = \phi(z) + i \cdot \psi(z) \quad \textrm{mit} \quad z = x + i \cdot y</math>
Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:
- <math>\Delta w(z) = \Delta \phi(z) + i \cdot \Delta \psi(z) = 0</math>
Literatur
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