Globale Analysis

Die globale Analysis, auch Analysis auf Mannigfaltigkeiten, ist ein Teilgebiet der Mathematik, das analytische Fragestellungen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten untersucht und deren Zusammenhang mit globalen geometrischen und topologischen Eigenschaften dieser Räume beschreibt.

Im Mittelpunkt der globalen Analysis stehen insbesondere gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten sowie Differentialoperatoren auf Funktionenräumen von Vektorbündeln. Ziel ist es, aus analytischen Eigenschaften solcher Operatoren Rückschlüsse auf die globale Struktur der zugrunde liegenden geometrischen Objekte zu gewinnen. Typischerweise verbindet die globale Analysis Methoden aus verschiedenen mathematischen Disziplinen, darunter Funktionalanalysis, Differentialgeometrie, Differentialtopologie, Theorie partieller Differentialgleichungen und Mikrolokaler Analysis.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Geschichte

Die Wurzeln der globalen Analysis liegen in Entwicklungen der Variationsrechnung, der Theorie dynamischer Systeme und der Differentialtopologie in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts. Eine wichtige Rolle spielte dabei die von Harold C. Marston Morse entwickelte Morse-Theorie, die kritische Punkte glatter Funktionen mit topologischen Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten in Beziehung setzt.<ref name=":4">John Milnor: Morse Theory. Princeton University Press, 1963.</ref>

In den 1960er Jahren entwickelte sich die globale Analysis zu einem eigenständigen Forschungsgebiet. Arbeiten von Stephen Smale und Richard S. Palais untersuchten insbesondere analytische Strukturen auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten, etwa auf Räumen glatter Abbildungen oder Lösungsräumen von Differentialgleichungen.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref name=":3" />

Eine zentrale Rolle spielte die Theorie elliptischer Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. In diesem Zusammenhang bewiesen Michael Atiyah und Isadore Singer im Jahr 1963 den Atiyah–Singer-Indexsatz, der eine Beziehung zwischen analytischen Eigenschaften elliptischer Differentialoperatoren und topologischen Invarianten von Mannigfaltigkeiten herstellt. Er gilt als eines der grundlegenden Resultate der globalen Analysis.<ref name=":1" /> Für diese Arbeiten erhielt Michael Atiyah im Jahr 1966 unter anderem die Fields-Medaille. Außerdem wurden Atiyah und Singer 2004 gemeinsam mit dem Abelpreis ausgezeichnet.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> In engem Zusammenhang mit dem Indexsatz entwickelten Michael Atiyah und Raoul Bott den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz, der eine allgemeine Fixpunktformel für elliptische Komplexe liefert und zahlreiche klassische Fixpunktsätze verallgemeinert. Dieses Resultat stellt ebenfalls eine Verbindung zwischen analytischen und topologischen Invarianten her und gilt als ein weiteres grundlegendes Resultat der globalen Analysis.<ref>Michael F. Atiyah, Raoul Bott: A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes I. Annals of Mathematics 86 (1967), S. 374–407.</ref> Eine Erweiterung des Indexsatzes stellt der Atiyah-Patodi-Singer-Indexsatz dar, der in den 1970er Jahren entwickelt wurde und Indexformeln für Mannigfaltigkeiten mit Rand liefert. Dabei treten neue spektrale Invarianten wie die η-Invariante auf.<ref>Michael Atiyah, Vijay Patodi, Isadore Singer: Spectral Asymmetry and Riemannian Geometry I. Math. Proc. Cambridge Philosophical Society 77 (1975).</ref>

Parallel dazu entwickelte sich die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren und der mikrolokalen Analysis, die wichtige Werkzeuge zur Untersuchung elliptischer Operatoren und ihrer Symbolstruktur bereitstellt und dadurch zahlreiche Resultate der globalen Analysis ermöglicht.<ref name=":2" />

Zentrale Themen

Ein charakteristisches Merkmal der globalen Analysis ist die Verbindung analytischer Methoden mit globalen geometrischen Strukturen auf Mannigfaltigkeiten.<ref name=":3">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Ein wichtiges Untersuchungsgebiet ist die Theorie elliptischer Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten. Wichtige Beispiele sind verallgemeinerte Laplace-Operatoren, die auf Vektorbündeln definiert sind und deren Spektraleigenschaften eng mit der Geometrie der Mannigfaltigkeit zusammenhängen. Analytische Eigenschaften solcher Operatoren, etwa Fredholm-Eigenschaften oder Spektralinvarianten, stehen dabei in engem Zusammenhang mit topologischen Eigenschaften der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeiten.<ref name=":2">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Eng damit verbunden ist die Theorie der Indexsätze. Der Atiyah-Singer-Indexsatz und seine Verallgemeinerungen zeigen, dass analytische Invarianten von Differentialoperatoren durch topologische Daten bestimmt werden. Eine besonders bedeutende Klasse elliptischer Differentialoperatoren bilden die Dirac-Operatoren, die ursprünglich aus der Quantenmechanik stammen und in der Differentialgeometrie auf Spin-Mannigfaltigkeiten definiert werden. Dirac-Operatoren spielen eine zentrale Rolle in der modernen Formulierung des Atiyah-Singer-Indexsatzes und seiner Verallgemeinerungen.<ref name=":1">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref><ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Ein weiteres wichtiges Gebiet sind Variationsmethoden und kritische Punkt-Methoden, etwa in der Morse-Theorie, die globale topologische Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten aus der Struktur glatter Funktionen ableiten.<ref name=":4" />

Darüber hinaus untersucht die globale Analysis analytische Strukturen auf unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten, insbesondere auf Räumen glatter Abbildungen oder Lösungsräumen von Differentialgleichungen.<ref name=":0" />

Einzelnachweise