Hamilton-Funktion

{{#if: behandelt die Hamilton-Funktion in der theoretischen Mechanik. Siehe Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie) für die Bedeutung in der Theorie der optimalen Steuerung.

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}} Die Hamilton-Funktion <math>\mathcal H(\vec q_1, \vec q_2, \ldots,\vec p_1, \vec p_2, \ldots, t)</math> eines Systems von Teilchen, ist deren Gesamtenergie, als Funktion der verallgemeinerten Orte und Impulse dieser Teilchen und ggf. der Zeit, sofern „skleronome“, d. h. nicht zeitabhängige Zwangsbedingungen vorliegen. Sie ist nach William Rowan Hamilton benannt und wird (aus dem Englischen übernommen) auch als Hamiltonian bezeichnet. Sie ist eine Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion des Systems.

Definition

Die Hamilton-Funktion ist definiert durch

<math>\mathcal H(\mathbf{q},\mathbf{p}, t) := \left\{\sum_{i=1}^n \dot{q}_i p_i\right\} - \mathcal L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t), \text{ mit } \dot{\mathbf{q}} = \dot{\mathbf{q}}(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)</math>

und hängt ab von

der Zeit <math>t</math>,
den generalisierten Koordinaten <math>\mathbf{q}=(q_1, q_2, \dotsc, q_n)</math> und
den generalisierten Impulsen <math>\mathbf{p}=(p_1, p_2, \dotsc, p_n)</math>.

Sie geht hervor aus einer Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion <math>\mathcal L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})</math> bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten, die von den generalisierten Koordinaten und ihren Geschwindigkeiten <math>\dot{\mathbf{q}} =(\dot q_1, \dot q_2, \dotsc, \dot q_n)</math> abhängt:

<math>\mathcal H(t,\mathbf{q},\mathbf{p})= \left\{\sum_{i=1}^n \dot q_i\, p_i\right\} - \mathcal L(t, \mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}})</math>

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten <math>\dot \mathbf{q}</math> diejenigen Funktionen

<math>\dot \mathbf{q}(t, \mathbf{q}, \mathbf{p})</math>

gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der generalisierten Impulse

<math>p_i(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) := \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}(\mathbf{q}, \dot\mathbf{q}, t),

\quad i = 1, \dots, n</math>

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Eigenschaften

Ableitung

Das totale Differential der Hamilton-Funktion lautet:

<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \mathrm dq_i + \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \mathrm dp_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} \mathrm dt</math>

Aufgrund der Produktregel erhält man

<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left( p_i \mathrm d\dot{q}_i + \dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} \mathrm d\dot{q}_i \right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt,</math>

wobei wegen der Definition des verallgemeinerten Impulses <math>\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q}_i} = p_i</math> die ersten und letzten Terme in den Klammern die Summe 0 haben, sodass gilt:

<math>\mathrm d\mathcal H = \sum_{i=1}^n \left(\dot{q}_i \mathrm dp_i - \frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} \mathrm dq_i\right) - \frac{\partial \mathcal L}{\partial t} \mathrm dt</math>

Mit der obigen Schreibweise des totalen Differentials folgen hieraus die partiellen Ableitungen der Hamilton-Funktion:

<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} = \dot{q}_i</math>

<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i} = -\dot{p}_i</math>

<math>\frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = -\frac{\partial \mathcal L}{\partial t}</math>

Erhaltungsgröße

Die totale Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Zeit ist identisch mit der partiellen:

<math>\begin{align}

\frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} & = \sum_{i=1}^f \left(\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_i} \dot{p}_i + \frac{\partial \mathcal H}{\partial q_i} \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\

                      & = \sum_{i=1}^f \left(\dot{q}_i \dot{p}_i - \dot{p}_i \dot{q}_i\right) + \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}\\
                      & = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t}

\end{align}</math>

Wenn die Hamilton-Funktion also nicht explizit von der Zeit <math>t</math> abhängt, ist ihr Wert eine Erhaltungsgröße:

<math>\mathcal H \neq \mathcal H(t) \Rightarrow \frac{\mathrm d\mathcal H}{\mathrm dt} = \frac{\partial \mathcal H}{\partial t} = 0 \Rightarrow \mathcal H = konst.</math>

Implikationen

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und -impulse durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

<math>\dot q_k =\frac{\partial \mathcal H}{\partial p_k}</math>

<math>\dot p_k =-\frac{\partial \mathcal H}{\partial q_k}</math>

Ebenso bestimmt der Hamiltonoperator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für <math>\mathcal H(t, \mathbf{q}, \mathbf{p})</math> als Funktion von Operatoren <math>\mathbf{q}</math> und <math>\mathbf{p}</math> liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Beispiele

Massenpunkt

Bei einem Teilchen der Masse <math>m</math>, das sich nichtrelativistisch in einem Potential <math>V</math> bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\frac{\vec p^2}{2\,m}+V(\vec q)</math>

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung

gilt für die Hamilton-Funktion<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\mathcal H(t, \vec q, \vec p)=\sqrt{m^2\,c^4+\vec p^2\,c^2}.</math>

Beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>\mathcal L= -m\,c^2 \sqrt{1-\dot{\vec q}^2/c^2}</math>

hängt der generalisierte Impuls <math>\vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{\vec q}}</math> gemäß

von der Geschwindigkeit <math>\dot{\vec q}</math> ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

des Impulses.

Harmonischer Oszillator

Die Hamilton-Funktion eines eindimensionalen harmonischen Oszillators ist gegeben durch<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>:

<math>\mathcal H(x, p) = \dot{x} p - \mathcal L(x, \dot{x}) = \frac{p^2}{2m} + \frac m2 \omega_0^2 x^2 = T + V = E</math>

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld

In kartesischen Koordinaten (<math>\vec q = \vec x</math>) lautet die Lagrange-Funktion eines Teilchens der Ladung <math>q</math>, das sich durch ein elektromagnetisches Feld bewegt<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>,

<math>\mathcal L = \frac 12 m \dot{\vec{x}}^2 + q \left( \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A} \right) - q \phi</math>

Dabei ist <math>\phi</math> das elektrische Potential und <math>\vec A</math> das Vektorpotential des magnetischen Feldes. Der kanonische Impuls ist

<math>\vec p = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \vec x} = m\dot \vec x + q \vec A </math>

Diese Gleichung kann so umgestellt werden, dass die Geschwindigkeit durch den Impuls ausgedrückt wird:

<math>\dot \vec x = \frac 1m \left( \vec p - q \vec A \right) </math>

Wird der Ausdruck für <math>\dot \vec x </math> und <math>\vec p</math> in die Definition der Hamilton-Funktion eingesetzt, ergibt sich diese zu:

<math>

\begin{align}

\mathcal H & = \dot \vec x \cdot \vec p - \mathcal L = \frac{\vec p}{m}\cdot \left( \vec p - q \vec A \right)-\frac{m}{2} \frac{1}{m^2} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 - \frac {q}{m} \left( \vec p - q \vec A \right)\cdot \vec{A} + q \phi  \\
& = \frac{1}{m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 - \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2+ q \phi= \frac{1}{2m} \left( \vec p - q \vec A \right)^2 + q \phi

\end{align} </math>

Literatur

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Einzelnachweise