Partielle Ableitung

In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten.

Mithilfe der partiellen Ableitung lässt sich das Änderungsverhalten von Funktionen untersuchen, die von mehreren Variablen abhängen. So gibt die partielle Ableitung die Änderungsrate der Funktion an, wenn sich nur eine Variable ändert. Darüber hinaus sind sie ein wesentlicher Bestandteil der Vektoranalysis. Sie bilden die Komponenten des Gradienten, des Laplace-Operators, der Divergenz und der Rotation in Skalar- und Vektorfeldern.

Definitionen

Partielle Ableitung in einem Punkt

Sei <math>U</math> eine offene Teilmenge des euklidischen Raums <math>\R^n</math> und <math>f\colon U\rightarrow \R</math> eine Funktion. Sei weiterhin ein Element <math>a=(a_1, \dotsc, a_n)</math> in <math>U</math>. Falls für die natürliche Zahl <math>1 \leq i \leq n</math> der Grenzwert

<math>

\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) :=
\lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\dotsc,a_i+h,\dotsc,a_n) - f(a_1,\dotsc,a_i,\dotsc,a_n)}{h}

</math> existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>x_i</math> in <math>a</math> (auch: die i-te partielle Ableitung von <math>f</math> in a). Die Funktion <math>f</math> heißt dann im Punkt <math>a</math> partiell nach <math>x_i</math> differenzierbar. Mithilfe der Standardbasisvektoren <math>e_i</math> des <math>\R^n</math> lässt sich dieser Grenzwert kompakt schreiben als

<math>

\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h e_i) - f(a)}{h} </math>. Alternative Schreibweisen für die partielle Ableitung in einem Punkt <math>a</math> nach <math>x_i</math> sind <math>\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x=a}</math>und <math>\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{a} </math>.

Ist <math>f</math> im Punkt <math>a</math> nach allen Variablen <math>x_1, \ldots , x_n</math> differenzierbar, so heißt <math>f</math> partiell differenzierbar im Punkt <math>a</math>.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Das Symbol ∂ wird als <math>d</math> oder zur Unterscheidung auch del ausgesprochen. Die Schreibweise <math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i}</math> wurde durch Verwendung von C. G. J. Jacobi bekannt.<ref>Heuser verweist auf Journal für reine und angewandte Mathematik, Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [1].</ref>

Partielle Ableitung

Ist <math>f</math> in allen Punkten des Definitionsbereichs partiell nach einer Variablen <math>x_i</math> differenzierbar, so heißt <math>f</math> partiell nach <math>x_i</math> differenzierbar.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> In diesem Fall definiert die Zuordnungsvorschrift

<math>x \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)

</math> eine neue Funktion auf <math>U</math>, die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>x_i</math>. Hierfür gibt es in der Literatur vielfältige Notationen wie

<math>\tfrac{\partial f}{\partial x_i},\tfrac{\partial}{\partial x_i}f, f_{x_i},f_{i}, \partial_{x_i} f, \partial_i f, D_{x_i}f

</math> oder <math>D_i f</math>.

Entsprechend kennzeichnet man auch die partielle Ableitung in einem Punkt <math>a</math> mithilfe dieser Symbole als <math>f_{x_i}(a)</math> etc. Das Bilden der partiellen Ableitung nach einer Variablen heißt partielles Differenzieren.

Die Funktion <math>f</math> heißt partiell differenzierbar, wenn sie nach allen Variablen partiell differenzierbar ist, d. h. wenn alle <math>n</math> partiellen Ableitungen existieren. Sind diese zudem alle stetig, so heißt <math>f</math> stetig partiell differenzierbar.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Partielle Ableitungen höhere Ordnung

Die partiellen Ableitungen sind Funktionen der unabhängigen Variablen von <math>f</math> und können ggf. wiederum partiell differenziert werden. Man erhält so die partiellen Ableitungen 2. Ordnung. Dabei werden zwei Fälle unterschieden: Das wiederholte Ableiten kann nach der gleichen Variablen wie bei der partiellen Ableitung vorgenommen werden,

<math>

\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 } = \frac{\partial }{\partial x_i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right) </math>, oder nach einer der anderen Variablen,

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} = \frac{\partial }{\partial x_j}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)</math>.

Die auf die zweite Art gebildeten partiellen Ableitungen nennt man auch gemischte partielle Ableitungen (2. Ordnung). Für die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung schreibt man auch <math>f_{x_j x_i}, \partial_{x_j} \partial_{x_i} f,\partial_{j} \partial_{i} f, \partial_{x_j x_i}^2 f, D_{x_j}D_{x_i}f, D_{x_j x_i}^2 f, D_{j}D_{i}f </math>; dabei gibt die Reihenfolge der Indizes von rechts nach links die Reihenfolge an, in der die partiellen Ableitungen gebildet werden. Speziell für <math>i=j</math> sind die abkürzenden Schreibweise <math>\partial_{x_i}^2 f, D_{x_i}^2 f</math> gebräuchlich.

Fährt man auf diese Weise fort, so erhält man partielle Ableitungen 3. Ordnung, 4. Ordnung etc. Die Ableitungen ab 2. Ordnung nennt man allgemein partielle Ableitungen höherer Ordnung oder höhere partielle Ableitungen. Allgemein notiert man eine partielle Ableitung höherer Ordnung, indem man mithilfe der oben beschriebenen Symbolik angibt, nach welchen Variablen in welcher Reihenfolge abgeleitet wird, wobei die Reihenfolge der Ableitungen von rechts nach links notiert wird. Zum Beispiel wird für eine Funktion <math>f(x_1, x_2, x_3)</math> mit

<math>\frac{\partial^3 f}{\partial x_1 \partial x_2 \partial x_1} = \partial_{x_1}\partial_{x_2}\partial_{x_1}f=\partial_{x_1 x_2 x_1}^3 f=f_{x_1 x_2 x_1} </math>

die partielle Ableitung 3. Ordnung bezeichnet, die man erhält, wenn zunächst nach <math>x_1</math>, dann nach <math>x_2</math> und zuletzt wieder nach <math>x_1</math> abgeleitet wird. Kommt es hierbei nicht auf die Reihenfolge an, in der die Ableitungen gebildet werden, d. h. liefern verschiedene Reihenfolgen dieselbe (Ableitungs-)Funktion (siehe Satz von Schwarz), so fasst man häufig die partiellen Ableitungen nach gleichen Variablen zusammen und schreibt man hierfür

<math>\frac{\partial^3 f}{\partial x_2 \partial x_1^2} = \partial_{x_2}\partial_{x_1}^2 f </math>.

Allgemein lässt sich (unter den Voraussetzungen des Schwarzschen Satzes) auf diese Weise die partielle Ableitung höherer Ordnung, die man durch <math>k_1</math>-maliges Ableiten nach <math>x_1</math>, <math>k_2</math>-maliges Ableiten nach <math>x_2</math> etc. erhält, unzweideutig schreiben als

<math>\frac{\partial^{k_1 + k_2 + \ldots + k_n} f}{\partial x_n^{k_n}\ldots \partial x_2^{k_2}\partial x_1^2} = \partial_{x_n}^{k_n}\ldots \partial_{x_2}^{k_2}\partial_{x_1}^{k_1} f</math>.

Geometrische Deutung

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird der Funktionsgraph einer Funktion <math>f \colon U \rightarrow \R</math> betrachtet. Der Definitionsbereich <math>U</math> sei eine offene Teilmenge der xy-Ebene. Ist <math>f</math> differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine Fläche <math>f(x,y)</math> über dem Definitionsbereich <math>U</math>.

Für einen festen Wert von <math>y_0</math> ist dann <math>z=f(x,y_0)</math> eine Funktion der einen unabhängigen Variable <math>x</math>. Ihr Graph ist die Schnittkurve der Fläche <math>f(x,y)</math> mit der Ebene <math>y=y_0</math> senkrecht zur <math>y</math>-Achse. Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>x</math> an der Stelle <math>x_0</math> entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt <math>(x_0, y_0, f(x_0,y_0))</math>. Sie gibt somit die Steigung der Fläche in der Richtung der <math>x</math>-Achse im Punkt <math>(x_0, y_0, f(x_0,y_0))</math>an.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Sätze und Eigenschaften

Ableitungsregeln

Die partielle Ableitung nach einer Variablen entspricht der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen. Deshalb übertragen sich die Ableitungsregeln für die gewöhnliche Ableitung auf partielle Ableitungen.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref> Sind <math>f, g\colon U \to \mathbb R</math> partiell nach <math>x_i</math> differenzierbar und <math>h \colon \mathbb R \to \mathbb R</math> differenzierbar, so gilt also:


Funktion	partielle Ableitung nach <math>x_i</math>	Name
<math>f(x)+g(x)</math>	<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(x) + \frac{\partial g}{\partial x_i}(x)</math>	Summenregel
<math>k \cdot f(x), \, k \in \mathbb R</math>	<math>k\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)</math>	Faktorregel
<math>f(x)\cdot g(x)</math>	<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot\frac{\partial g}{\partial x_i}(x)</math>	Produktregel
<math>\frac{f(x)}{g(x)}, \, g(x) \neq 0</math>	<math>\frac{\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot\frac{\partial g}{\partial x_i}(x)}{g(x)^2}</math>	Quotientenregel
<math>(h\circ f)(x) </math>	<math>h'(f(x))\cdot \frac{\partial f}{\partial x_i}(x)</math>	Kettenregel

Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, Stetigkeit

Für eine auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb R^n</math> definierte Funktion <math>f \colon U \to \mathbb R</math> gilt:

Ist <math>f</math> in <math>a \in U</math> total differenzierbar, so ist <math>f</math> in <math>a</math> stetig.<ref name=":0">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>
Ist <math>f</math> in <math>a \in U</math> total differenzierbar, so ist <math>f</math> in <math>a</math> (nach allen Richtungen) partiell differenzierbar.<ref name=":0" />
Ist <math>f</math> in <math>a \in U</math> partiell differenzierbar, so ist <math>f</math> in <math>a</math> nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar.
Ist <math>f</math> partiell differenzierbar und sind alle partiellen Ableitungen im Punkt <math>a</math> stetig, so ist <math>f</math> in <math>a</math> total differenzierbar.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Satz von Schwarz

Es gilt der Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen, d. h es gilt
<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i} =\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\,.</math>

Beispiele

Beispiel 1

Datei:Graph Paraboloid.gif

Der Graph von <math>f(x,y):=x^2+y^2-2</math> ist ein Paraboloid (Animation: GIF-Export Geogebra)

Als Beispiel wird die Funktion <math>f\colon\R^2\rightarrow\R</math> mit <math>f(x,y):= x^2 + y^2-2</math> betrachtet, die von den beiden Variablen <math>x</math> und <math>y</math> abhängt.

Betrachtet man <math>y</math> als eine Konstante, z. B. <math>y = 3</math>, so hängt die Funktion <math>g\colon\R\rightarrow\R</math> mit <math>g(x)=f(x,3)</math> nur noch von der Variablen <math>x</math> ab:

Für die neue Funktion gilt folglich <math>g(x) = x^2 + 7</math> und man kann den Differenzialquotienten bilden:

<math>\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x} = \lim_{h \to 0}\frac{g(x+h) - g(x)}{h} = g'(x) = 2 x</math>.

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion <math>f</math> nach <math>x</math> bildet:

<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 + y^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 x</math>.

Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>y</math> lautet entsprechend

<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0}\frac{f(x,y + h) - f(x,y)}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + (y+h)^2 - 2 - x^2 -y^2 + 2}{h} = 2 y</math>.

Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt:

Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen.

Beispiel 2

Datei:Sin x plus cos y plot.gif

Funktionsplot mit Geogebra<math>f(x,y):=\cos(x)+\sin(y)</math>

Die partiellen Ableitungen der Funktion

sind gegeben durch

<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = -\sin(x)</math> und

<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \cos(y)</math>.

Beispiel 3

Für die Funktion

folgt mit der Produkt- und der Kettenregel (siehe oben)

<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x \sin(xy) + x^2 y \cos(xy)</math> und

<math>\frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = x^3 \cos(xy)</math>.

Anwendungen

Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor zusammenfassen, dem Gradienten von <math>f</math>:

<math>

\text{grad}\, f = \nabla f:=
\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots,
\frac{\partial f}{\partial x_n} \right)^T

</math>.

Hierbei ist <math>\nabla</math> der Nabla-Operator.

Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix zusammenfassen, der Hesse-Matrix
<math>

\operatorname{H}_f= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}&\dots&\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} </math>.

Es gilt die Taylorformel: Wenn die Funktion <math>f\colon U \to \R</math> <math>k</math>-mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> durch ihre Taylor-Polynome approximieren:

<math>f(a + h) = \sum_{s =0}^k\,\sum_{j_1 + \dots + j_n =s} \frac{1}{j_1! \cdots j_n!}\,\frac{\partial^{s}f}{\partial x_1^{j_1} \cdots \partial x_n^{j_n}}(a) \, h_1^{j_1} \cdots h_n^{j_n} + r(a,h)</math>

mit <math>h = (h_1, \dots, h_n)</math>, wobei das Restglied <math>r(a,h)</math> für <math>|h| \to 0</math> von höherer als <math>k</math>-ter Ordnung verschwindet, das heißt:

Die Terme zu gegebenem <math>k</math> ergeben die Taylorapproximation <math>k</math>-ter Ordnung.

Einfache Extremwertprobleme findet man in der Analysis bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen (vgl. hierzu den Artikel über Differentialrechnung). Die Verallgemeinerung des Differentialquotienten auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

In der Differentialgeometrie benötigt man partielle Ableitungen zur Bestimmung eines totalen Differentials. Anwendungen für totale Differentiale findet man in großem Maße in der Thermodynamik.

Partielle und totale Ableitung nach der Zeit

In der Physik (vor allem in der theoretischen Mechanik) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion <math>f</math> von den Ortskoordinaten <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> und von der Zeit <math>t</math> ab. Man kann also die partiellen Ableitungen <math>\tfrac{\partial f}{\partial x}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial y}</math>, <math>\tfrac{\partial f}{\partial z}</math> und <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math> und <math>z(t)</math> gegeben. Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion

<math>t \mapsto f(x(t),y(t),z(t),t)</math>

beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit <math>t</math>, ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die totale oder vollständige Ableitung von <math>f</math> nach der Zeit <math>t</math> und schreibt dafür auch kurz <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math>. Sie berechnet sich nach der mehrdimensionalen Kettenregel wie folgt:

<math>\frac{\mathrm df}{\mathrm dt} =

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} f(x(t),y(t),z(t),t) = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} + \frac{\partial f}{\partial t}</math> Während bei der partiellen Ableitung <math>\tfrac{\partial f}{\partial t}</math> nach der Zeit nur die explizite Abhängigkeit der Funktion <math>f</math> von <math>t</math> berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung <math>\tfrac{\mathrm d f}{\mathrm d t}</math> auch die indirekte (oder implizite) Abhängigkeit von <math>t</math>, die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen.

(Indem man also die implizite Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von „substantieller“ Zeitableitung, bzw. im Jargon der Strömungsmechanik von der Euler-Ableitung im Gegensatz zur Lagrange-Ableitung.)

→ Für eine ausführlichere Darstellung siehe totales Differential

Verallgemeinerungen

Richtungsableitung

Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die Richtungsableitung dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen. Formal handelt es sich bei der Richtungsableitung einer Funktion <math>f \colon U \to \mathbb R</math> (<math>U \subset \mathbb R^n</math> offen) im Punkt <math>a \in U</math> in Richtung des Vektors <math>v=(v_1, \ldots, v_n) \in \mathbb R</math> um den Grenzwert

<math>\frac{\partial f}{\partial v}(a):= \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h v) - f(a)}{h}</math>,

falls dieser existiert. Die Richtungsableitung lässt sich ggf. mithilfe der partiellen Ableitungen berechnen. Ist nämlich <math>f</math> in <math>a</math> (total) differenzierbar, so gilt

<math>\frac{\partial f}{\partial v}(a) = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) v_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) v_n </math>.

Verallgemeinerung auf vektorwertige Funktionen

Sei <math>U \subset \mathbb{R}^n </math> offen, <math>(X, ||\cdot||) </math> ein normierter Raum und <math>f\colon U\rightarrow X</math> eine Funktion. Die partielle Ableitung von <math>f</math> nach der <math>i</math>-ten Variable <math>x_i</math> in <math>a \in U</math> ist dann (wie für <math>X = \mathbb{R}</math>) definiert als

<math>

\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \frac{f(a + h e_i) - f(a)}{h},

</math> falls dieser Grenzwert, der bzgl. der Norm <math>||\cdot|| </math> auf <math>X </math> aufgefasst werden muss, existiert.

Ist <math>\dim(X) < \infty </math> so ist die Wahl der Norm beliebig, da in endlich-dimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind. Vor allem die Fälle <math>

X = \mathbb{K}^n

</math> und <math>

X = \mathbb{K}^{m \times n}

</math> (versehen mit einer beliebigen Norm) sind von besonderem Interesse. Hierbei wurde die übliche Notation <math>

\mathbb{K}=\mathbb{R}

</math> oder <math>

\mathbb{K}=\mathbb{C}

</math> verwendet.

Auch höhere Ableitungen lassen sich analog auf <math>

</math> verallgemeinern.

Verallgemeinerung auf Matrixfunktion

Sei <math>U \subset \mathbb{R}^{m \times n } </math> offen und <math>(X, ||\cdot||) </math> ein normierter Raum und <math>f\colon U\rightarrow X</math> eine Funktion. Sei weiterhin ein Element <math>A = (a_{ij}) \in U </math> gegeben. Seien <math>i, j \in \N</math> mit <math>1 \leq i \leq m</math> und <math>1 \leq j \leq n</math> dann nennt man den Grenzwert

<math>

\frac{\partial f}{\partial a_{ij}}(A) := \lim_{h\to 0} \frac{f(A + h e_i e_j^T) - f(A)}{h} = \left.\frac{\partial f(A + h e_i e_j^T)}{\partial h}\right|_{h=0}

</math> die partielle Ableitung von <math>f</math> nach <math>a_{ij}</math> im Punkt <math>A</math>, falls dieser in <math>(X, ||\cdot||) </math> existiert. <math>f</math> heißt in diesem Fall partiell differenzierbar an der Stelle <math>

</math>. Hierbei werden die Basisvektoren <math>e_i \in \R^m, e_j \in \R^n </math> als Spaltenvektoren aufgefasst und entsprechend sind alle Koeffizienten der Matrix <math>H_{ij}:=e_i e_j^T \in \R^{m \times n}</math> gleich <math>0</math> außer dem Koeffizient <math>\left(H_{ij}\right)_{ij} = 1</math>.

Identifiziert man die offenen Menge <math>U \subset \mathbb{R}^{m \times n } </math> mit einer offenen Menge <math>\tilde{U} \subset \mathbb{R}^{m \cdot n } </math> und <math>f\colon U\rightarrow X</math> durch eine Funktion <math>\tilde{f}\colon \tilde{U}\rightarrow X</math>, so lassen sich alle Regeln für partielle Ableitungen von <math>\tilde{f}</math> auf <math>f </math> übertragen. So lassen sich auch hier beispielsweise höhere partielle Ableitungen bilden und es gelten die oben stehenden Sätze und Eigenschaften.

Literatur

Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 2. 12. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2025. ISBN 978-3-658-45811-9.
Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main 1974.
Hans Grauert, Wolfgang Fischer: Differential- und Integralrechnung II. 2. Auflage. Springer, Berlin 1978.

Einzelnachweise