Hopf-Algebra
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Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf – <math>H</math> über einem Körper <math>\mathbb{K}</math> ist eine Bialgebra <math>(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)</math> mit einer <math>\mathbb{K}</math>-linearen Abbildung, der sog. „Antipode“, <math>S\colon H\to H</math>, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
Formal in der Sweedler-Notation – benannt nach Moss Sweedler – geschrieben heißt das: <math>S\left(c_{\left(1\right)}\right)c_{\left(2\right)}=c_{\left(1\right)}S\left(c_{\left(2\right)}\right)=\epsilon\left(c\right)1.</math>
Faltung und Antipode
Sei <math>A</math> eine Algebra und <math>C</math> eine Koalgebra. Die <math>\mathbb K</math>-linearen Abbildungen von <math>C</math> nach <math>A</math> bilden eine Algebra mit Produkt <math>*</math>, genannt Faltung, definiert durch
- <math>(f*g)(x):=f(x_{(1)})g(x_{(2)}) </math>.
Das neutrale Element in dieser Algebra ist <math>\eta \circ \epsilon</math>, denn
- <math>(f*(\eta \circ \epsilon))(x) = f(x_{(1)})\eta(\epsilon(x_{(2)})) = f(x_{(1)}\epsilon(x_{(2)}))\eta(1) = f(x) </math>
und entsprechend auch
- <math>((\eta \circ \epsilon)*f)(x) = f(x) </math>.
Für eine Bialgebra <math>H</math> bilden die <math>\mathbb K</math>-linearen Abbildungen von <math>H</math> nach <math>H</math> auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode <math>S</math> ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt
- <math>S*\mathrm{id} = \eta\circ\epsilon = \mathrm{id}*S </math>.
Es lässt sich zeigen, dass die Antipode einer Hopf-Algebra stets eindeutig ist, und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopf-Algebra ausrechnen, wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind.
Beispiele
Gruppenalgebra
Ein Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra <math>\mathbb K G</math>. Sie wird durch
- <math>\Delta(g) := g \otimes g</math> für <math>g \in G</math>
und
- <math>\epsilon(g) := 1</math> für <math>g \in G</math>
zu einer Bialgebra, die Antipode
- <math>S(g) := g^{-1}</math> für <math>g \in G</math>
macht sie zu einer Hopf-Algebra.
Universelle einhüllende Algebra
Die universelle einhüllende Algebra <math>\mathrm U(\mathfrak g)</math> einer Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> ist auf natürliche Weise eine Hopfalgebra. Für ein Element <math>x \in \mathfrak g</math> ist das Koprodukt durch
- <math>\Delta(x) := 1\otimes x + x \otimes 1 </math>
und die Koeins durch
- <math>\epsilon(x) := 0 </math>
definiert.
- <math>S(x) := -x </math>
definiert die Antipode.
Gruppenartige und primitive Elemente
Ein Element <math>g</math> einer Hopfalgebra heißt „gruppenartig“, wenn <math>\Delta(g)=g \otimes g</math> und <math>\epsilon(g)=1 </math>. Für die Antipode gilt dann <math>S(g)=g^{-1} </math>.
Ein Element <math>x</math> heißt „primitiv“, wenn <math>\Delta(x)=1\otimes x + x\otimes 1 </math>. Daraus folgt, dass <math>\epsilon(x)=0 </math> und <math>S(x)=-x </math>.
Ein Element <math>x</math> heißt „schiefprimitiv“, wenn <math>\Delta(x)=g\otimes x + x\otimes h </math> mit gruppenähnlichen Elementen <math>g</math> und <math>h</math>. Daraus folgt, dass <math>\epsilon(x)=0 </math> und <math>S(x)=-g^{-1}xh^{-1} </math>.
Literatur
- Christian Kassel: Quantum Groups (= Graduate Texts in Mathematics. 155). Springer, New York NY u. a. 1995, ISBN 0-387-94370-6.
- Moss E. Sweedler: Hopf algebras. Benjamin, New York NY 1969.