Hyperbolische Geometrie
Die hyperbolische Geometrie (auch Lobatschewskische Geometrie oder Lobatschewski-Geometrie genannt) ist ein Beispiel für eine nichteuklidische Geometrie, das man erhält, wenn man zu den Axiomen der absoluten Geometrie anstelle des Parallelenaxioms, das die euklidischen Geometrien kennzeichnet, das diesem widersprechende hyperbolische Axiom<ref name="Klotzek">Klotzek (2001), 2.1</ref> hinzunimmt. Dieses besagt, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) nicht wie in der euklidischen Geometrie nur genau eine, sondern mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel sind. Dass zwei Geraden „parallel“ zueinander sind, bedeutet hier aber lediglich, dass sie in derselben Ebene liegen und keine gemeinsamen Punkte haben, nicht dass sie überall den gleichen Abstand haben (h und i haben nur einen gemeinsamen Punkt P).
Es lässt sich zeigen, dass es dann zu einer beliebigen Geraden g durch jeden Punkt außerhalb von g unendlich viele Nichtschneidende („Parallelen“) gibt, die in der durch den Punkt und die Gerade bestimmten Ebene liegen.<ref name="Klotzek" /> Zwei davon sind in einer Grenzlage und heißen grenzparallel (auch: horoparallel) zur Geraden, während die restlichen Geraden überparallel (auch: hyperparallel) genannt werden.
Darstellungen der reellen hyperbolischen Ebene
Es gibt verschiedene Arten, wie die reelle hyperbolische Ebene in der reellen euklidischen Ebene dargestellt werden kann. Die meisten davon lassen sich für höhere Dimensionen verallgemeinern.
Auf jede dieser Arten wird die gleiche abstrakte hyperbolische Geometrie dargestellt: Die reelle hyperbolische Ebene. Es ist daher möglich, zwischen diesen Darstellungen umzurechnen und Aussagen in rein hyperbolischer Geometrie sind vom verwendeten „Modell“ unabhängig. Gewöhnlich spricht man in der Mathematik dann von unterschiedlichen Modellen, wenn zwei nicht isomorphe Strukturen das gleiche Axiomensystem erfüllen. Insofern beschreiben die folgenden „Modelle“ die gleiche Struktur, sind also nur verschiedene Darstellungen eines Modells. Diese Darstellungen werden jedoch in der Literatur immer als Modelle bezeichnet, so auch hier. Zu hyperbolischen Ebenen über anderen Körpern und mehr als zweidimensionalen hyperbolischen Räumen siehe Metrische absolute Geometrie.
Kreisscheibenmodell von Beltrami und Klein
{{#if: Beltrami-Klein-Modell|{{#ifexist:Beltrami-Klein-Modell|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
In dieser von Eugenio Beltrami und Felix Klein entwickelten Darstellung gilt:
- Die hyperbolische Ebene wird durch eine offene Kreisscheibe modelliert.
- Hyperbolische Geraden werden durch Sehnen modelliert.
- Längen werden durch eine spezielle Distanzfunktion definiert (auch die Winkel sind verschieden von den euklidischen Werten).
Diese Darstellung ist auch unter dem Namen „Bierdeckelgeometrie“ bekannt.<ref>Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Vieweg+Teubner Verlag, 5. erweiterte Auflage, 2012, ISBN 978-3-8348-1234-6, S. 71 ({{#if: PAdSPOBYHPUC
| {{#if: {{#if: ||1}} {{#if: PAdSPOBYHPUC ||1}}
| <0|&pg={{#if:|RA{{{Band}}}-}}PA71|&pg=71}}{{#if:|&q=}}#v=onepage|{{#if:|&pg=|}}{{#if:|&q=}}}}{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}|{{#if:|q=%7B%7B%7BSuchbegriff%7D%7D%7D}}}} {{#if:Auszug (Google)|{{#invoke:WLink|getEscapedTitle|Auszug (Google)}}|eingeschränkte Vorschau}}{{#if:ja|| in der Google-Buchsuche}}{{#ifeq:|US|-USA}}{{#if: PAdSPOBYHPUC |{{#invoke: Vorlage:GoogleBook|fine |id=PAdSPOBYHPUC |errN=Parameter „BuchID“ hat falsche Länge |errC=Parameter „BuchID“ enthält ungültige Zeichen |errH=# in der „BuchID“ |errP=Parameterzuweisungen in der „BuchID“ |class=editoronly |cat={{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}} |template= Vorlage:Google Buch}}
}}
| Es darf nur genau einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}}
| Es muss mindestens einer der beiden Parameter „Suchbegriff“ oder „BuchID“ ausgefüllt werden. Bitte beachte die in der Vorlage:Google Buch befindliche Dokumentation und prüfe die verwendeten Parameter.{{#ifeq: 0 | 0 | }}}}{{#invoke:TemplatePar|check
|all=
|opt= Suchbegriff= BuchID= Seite= Band= SeitenID= Hervorhebung= Linktext= Land= KeinText=
|cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch}}
|template= Vorlage:Google Buch
|format=
}}{{#if:Auszug (Google)|{{#if:{{#invoke:WLink|isBracketedLink|Auszug (Google)}}|}}}})</ref>
Distanzfunktion
Sind A und B zwei Punkte der Kreisscheibe, so trifft die durch A und B verlaufende Sehne den Kreis in zwei Punkten R und S. Der hyperbolische Abstand von A und B wird nun mit Hilfe des Doppelverhältnisses <math>(A,B,R,S)</math> definiert:
- <math>d(A,B)=\frac{1}{2} \ln (A,B,R,S) = \frac{1}{2} \ln\frac{\overline{RB} \cdot \overline{SA}}{\overline{RA}\cdot\overline{SB}}</math>.
Poincarésches Kreisscheibenmodell
{{#if: Poincaré-Kreisscheibenmodell|{{#ifexist:Poincaré-Kreisscheibenmodell|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
Bei dem auf Beltrami zurückgehenden Kreisscheibenmodell von Henri Poincaré gilt:
- Die hyperbolische Ebene wird durch eine offene Kreisscheibe (meist den Einheitskreis) modelliert.
- Hyperbolische Geraden werden durch Kreisbögen (und Durchmesser), die auf dem Rand senkrecht stehen, modelliert.
- Die hyperbolische Winkelmessung entspricht der euklidischen Winkelmessung, wobei der Winkel zwischen zwei Kreisbögen über deren Tangenten am Schnittpunkt bestimmt wird.
- Die hyperbolische Längenmessung erfolgt durch eine spezielle Distanzfunktion.
Distanzfunktion
Seien <math>A</math> und <math>B</math> zwei Punkte der Kreisscheibe. Fasst man die Ebene als komplexe Zahlenebene auf, so entsprechen den Punkten <math>A</math>, <math>B</math> komplexe Zahlen <math>a</math>, <math>b</math>. Der hyperbolische Abstand von <math>A</math> und <math>B</math> wird nun mit Hilfe dieser komplexen Zahlen definiert:
- <math>d(A,B)= \operatorname{arcosh}\left(1 + \frac{2 \cdot \left\| a - b \right\|^2}{\left(1-\left\| a \right\|^2\right)\cdot\left(1-\left\| b \right\|^2\right)}\right)</math>
Poincarésches Halbebenenmodell
{{#if: Poincaré-Halbebenenmodell|{{#ifexist:Poincaré-Halbebenenmodell|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
Bei dem auf Beltrami zurückgehenden Halbebenenmodell von Henri Poincaré gilt:
- Die hyperbolische Ebene wird durch die obere Halbebene (y>0) modelliert.
- Hyperbolische Geraden werden durch Kreisbögen (und Halbgeraden) modelliert, die auf der x-Achse senkrecht stehen.
- Die hyperbolische Winkelmessung entspricht der euklidischen Winkelmessung, wobei der Winkel zwischen zwei Kreisbögen über deren Tangenten am Schnittpunkt bestimmt wird.
Distanzfunktion
Der Abstand zwischen zwei Punkten der oberen Halbebene wird mit der folgenden Formel berechnet:
- <math>\operatorname{d} (\langle x_1, y_1 \rangle, \langle x_2, y_2 \rangle) = \operatorname{arcosh} \left( 1 + \frac{ {(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2 }{ 2 y_1 y_2 } \right) \,.</math>
Hyperboloid-Modell
Das auf Poincaré zurückgehende Hyperboloidmodell bettet die hyperbolische Ebene in den dreidimensionalen Minkowskiraum ein.
Erlanger Programm
{{#if: Erlanger Programm|{{#ifexist:Erlanger Programm|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}
Im Sinne von Felix Kleins Erlanger Programm ist hyperbolische Geometrie die Geometrie von
- <math> \big( O(n,1),O(n) \times O(1) \big)</math>.
Das Beltrami-Klein-Modell zeigt, dass man hyperbolische Geometrie als Teil der projektiven Geometrie auffassen kann.
Hyperbolisches Dreieck
{{#if: Hyperbolisches Dreieck|{{#ifexist:Hyperbolisches Dreieck|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{2}}}|
|{{#if: |{{#ifexist:{{{3}}}|
|}}|}}|}}|}}|}}|Einbindungsfehler: Die Vorlage Hauptartikel benötigt immer mindestens ein Argument.}}Ein hyperbolisches Dreieck ist in der hyperbolischen Geometrie ein Dreieck in der hyperbolischen Ebene. Es besteht aus drei Liniensegmenten, den Seiten oder Kanten, und drei Punkten, den Winkeln oder Scheitelpunkten. Wie bei einem Dreieck in der euklidischen Ebene liegen drei Punkte eines hyperbolischen Raums beliebiger Dimension immer auf derselben Ebene. Daher beschreiben planare hyperbolische Dreiecke auch Dreiecke, die in jeder höheren Dimension hyperbolischer Räume möglich sind.
In der reellen hyperbolischen Geometrie ist die Winkelsumme in einem Dreieck immer kleiner als <math>\pi</math>. Für sehr große Dreiecke kann sie beliebig klein werden. Die Fläche des Dreiecks wird nach Johann Heinrich Lamberts Formel berechnet:
- <math>\pi - ( \alpha + \beta + \gamma ) = C \ \Delta</math>
wobei <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> die jeweiligen Winkel, <math>\Delta</math> die Fläche und die Konstante <math>C</math> ein Skalierungsfaktor ist. Der Skalierungsfaktor <math>C</math> ist abhängig vom verwendeten Einheitensystem und im Grunde gleich 1 zu setzen. Ist der Faktor <math>C</math> negativ, spricht man von einer (positiven) Gaußschen Krümmung. Analog dazu definierte Thomas Harriot zuvor im Jahr 1603 die Formel
- <math>\Delta = R^2 \,(\alpha + \beta + \gamma - \pi)</math>
für die Fläche eines Dreiecks auf einer Kugeloberfläche, das von Kreisen mit demselben Radius wie die Kugel gebildet wird. Hierbei gilt der Zusammenhang
- <math>C = -\frac{1}{R^2}</math>
Da für die hyperbolische Geometrie ein positiver Wert für <math>C</math> erforderlich ist, muss es sich bei <math>R</math> aufgrund von
- <math>R = (-C)^{-\frac{1}{2}}</math>
um einen imaginären Radius handeln.
Siehe auch
- Hyperbolischer Raum
- Elliptische Geometrie
- Nikolai Lobatschewski
- János Bolyai
- Giovanni Girolamo Saccheri und Saccheri-Viereck
Literatur
- Geschichte
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- Marvin Jay Greenberg: Euclidean & Non-Euclidean Geometries: Development and History. W. H. Freeman, 1993, ISBN 0-7167-2446-4.
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- Nikolai I. Lobachevsky: Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics. Vol. 4, European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN 978-3-03719-087-6.
- Die Hyperbolische Geometrie im Rahmen der Differentialgeometrie (Geometrien auf Flächen)
- Norbert A’Campo, Athanase Papadopoulos: Notes on hyperbolic geometry. In: Strasbourg Master class on Geometry. European Mathematical Society (EMS), Zürich, ISBN 978-3-03719-105-7, S. 1–182, doi:10.4171/105. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18)
- Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. I, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2007, ISBN 978-3-03719-029-6, doi:10.4171/029. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 11)
- Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2009, ISBN 978-3-03719-055-5, doi:10.4171/055. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 13)
- Athanase Papadopoulos (Hrsg.): Handbook of Teichmüller theory. Vol. III, European Mathematical Society (EMS), Zürich 2012, ISBN 978-3-03719-103-3, doi:10.4171/103. (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 19)
- Die (reelle) hyperbolische Ebene als Modell einer absoluten Geometrie im Hilbertschen Sinn
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
- {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
Weblinks
|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if:
| {{#switch: {{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}/{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}
|1/= und Videos
|1/1=, Videos und Audiodateien
|/1= und Audiodateien}}
| , Videos und Audiodateien
}}
|#default= – }}{{#if: Hyperbolic geometry
| {{#ifeq: {{#invoke:Str|left|hyperbolic geometry|9}}
| category:
| FEHLER: Ohne Category: angeben!}}}}Vorlage:Wikidata-Registrierung
Einzelnachweise
<references />
{{#ifeq: s | p | | {{#if: 4161041-6 | |
}} }}{{#ifeq:||{{#if: | [[Kategorie:Wikipedia:GND fehlt {{#invoke:Str|left|{{{GNDCheck}}}|7}}]] }}{{#if: | {{#if: | | }} }} }}{{#if: | {{#ifeq: 0 | 2 | | }} }}{{#if: | {{#ifeq: 0 | 2 | | }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: 4161041-6 | | {{#if: {{#statements:P227}} | | }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: 4161041-6 | {{#if: {{#invoke:Wikidata|pageId}} | {{#if: {{#statements:P227}} | | }} }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | | {{#if: {{#statements:P244}} | | }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | {{#if: {{#invoke:Wikidata|pageId}} | {{#if: {{#statements:P244}} | | }} }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | | {{#if: {{#statements:P214}} | | }} }} }}{{#ifeq: s | p | {{#if: | {{#if: {{#invoke:Wikidata|pageId}} | {{#if: {{#statements:P214}} | | }} }} }} }}Vorlage:Wikidata-Registrierung
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Google Buch
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Parameter:Linktext
- Wikipedia:Vorlagenfehler/Schwesterprojekt
- Wikipedia:GND fehlt
- Wikipedia:Normdaten-TYP falsch oder fehlend
- Wikipedia:GND in Wikipedia fehlt, in Wikidata vorhanden
- Wikipedia:GND in Wikipedia vorhanden, fehlt jedoch in Wikidata
- Wikipedia:LCCN in Wikipedia fehlt, in Wikidata vorhanden
- Wikipedia:LCCN in Wikipedia vorhanden, fehlt jedoch in Wikidata
- Wikipedia:VIAF in Wikipedia fehlt, in Wikidata vorhanden
- Wikipedia:VIAF in Wikipedia vorhanden, fehlt jedoch in Wikidata
- Absolute Geometrie