Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt

Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Die folgenden Bezeichnungen sind ebenfalls üblich: initiales Objekt für Anfangsobjekt, terminales oder finales Objekt für Endobjekt.

Ein Anfangsobjekt ist ein spezieller Fall des Koprodukts, ein Endobjekt ein spezieller Fall des Produkts in Kategorien.

Definitionen

• Ein Objekt <math>X</math> heißt Anfangsobjekt, wenn es für jedes Objekt <math>Y</math> der Kategorie genau einen Morphismus <math>X \to Y</math> gibt.
• Ein Objekt <math>X</math> heißt Endobjekt, wenn es für jedes Objekt <math>Y</math> der Kategorie genau einen Morphismus <math>Y \to X</math> gibt.
• Ein Objekt heißt Nullobjekt, wenn es gleichzeitig Anfangs- und Endobjekt ist.

Eigenschaften

• Je zwei Anfangsobjekte sind isomorph.
• Je zwei Endobjekte sind isomorph.
• Je zwei Nullobjekte sind isomorph.
• Ist ein Anfangsobjekt zu einem Endobjekt isomorph, dann handelt es sich um ein Nullobjekt.

Die in all diesen Fällen auftretenden Isomorphismen sind jeweils eindeutig bestimmt. Zusammenfassend bedeutet dies:

Anfangs-, End- und Nullobjekte sind (sofern sie existieren) jeweils eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus.

• Das Anfangsobjekt ist ein Sonderfall des Koprodukts, nämlich für die leere Familie von Objekten.
• Das Endobjekt ist ein Sonderfall des Produkts, nämlich für die leere Familie von Objekten.

Beispiele

• In der Kategorie der Mengen ist die leere Menge das Anfangsobjekt und jede einelementige Menge ein Endobjekt. Diese Kategorie hat kein Nullobjekt.
• In der Kategorie der Gruppen oder der abelschen Gruppen ist die triviale Gruppe (die nur aus dem neutralen Element besteht) Nullobjekt.
• In der Kategorie der nichtleeren Halbgruppen gibt es kein Anfangsobjekt. Lässt man die leere Halbgruppe zu, so ist diese das Anfangsobjekt. In beiden Fällen ist jede einelementige Halbgruppe Endobjekt.
• In der Kategorie der Vektorräume über einem Körper (oder allgemeiner der Moduln über einem Ring) ist der Nullvektorraum (bzw. der Nullmodul) Nullobjekt.
• In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist der Ring Z der ganzen Zahlen Anfangsobjekt und der Nullring Endobjekt.
• In der Kategorie beliebiger Ringe ist der Nullring Nullobjekt.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume sind die einpunktigen Räume Nullobjekte.
• Man kann jede partielle Ordnung als Kategorie auffassen, indem man festlegt, dass genau dann ein Pfeil von <math>x</math> nach <math>y</math> geht, wenn <math>x \le y</math> gilt. Ein Anfangsobjekt entspricht dann dem kleinsten Element der Ordnung (falls es existiert). Ein Endobjekt entspricht dem größten Element.

Kategorien mit Nullobjekten

Gibt es in einer Kategorie ein Nullobjekt <math>0</math>, so gibt es zu je zwei Objekten <math>X</math> und <math>Y</math> stets einen kanonischen so genannten Nullmorphismus <math>0 \colon X \to Y</math>, der die Verkettung von

<math>X \to 0 \to Y </math>

ist. Genauer schreibt man <math>0_{X,Y}</math>, um die Abhängigkeit von <math>X</math> und <math>Y</math> auszudrücken. Da die Morphismenmengen einer Kategorie definitionsgemäß paarweise disjunkt sind, gilt <math>0_{X,Y} = 0_{X',Y'}</math> nur für <math>X=X'</math> und <math>Y=Y'</math>.

Nullmorphismen <math>0 \colon X \to Y</math> in konkreten Kategorien sind in der Regel solche, die alle Elemente aus <math>X</math> auf ein Nullelement oder neutrales Element (je nach Kategorie) von <math>Y</math> abbilden. Beispiele sind:

• In der Kategorie der Gruppen ist der Nullmorphismus <math>0_{X,Y} \colon X \to Y</math> derjenige Homomorphismus, der jedes Element aus <math>X</math> auf das neutrale Element von <math>e_Y\in Y</math> abbildet, das heißt <math>0_{X,Y}(x) = e_Y</math> für alle <math>x\in X</math>.
• In der Kategorie der Moduln über einem Ring <math>R</math> ist der Nullmorphismus <math>0_{X,Y} \colon X \to Y</math> diejenige <math>R</math>-lineare Abbildung, die jedes Element aus <math>X</math> auf das Nullelement von <math>0_Y\in Y</math> abbildet, das heißt <math>0_{X,Y}(x) = 0_Y</math> für alle <math>x\in X</math>.
• In der Kategorie der punktierten topologischen Räume ist der Nullmorphismus <math>0_{X,Y} \colon X \to Y</math> diejenige Abbildung, die jedes Element aus <math>X</math> auf den ausgezeichneten Punkt <math>p_Y\in Y</math> abbildet, das heißt <math>0_{X,Y}(x) = p_Y</math> für alle <math>x\in X</math>. Beachte, dass diese Abbildung als konstante Abbildung stetig ist.

In Kategorien mit Nullobjekten gibt es damit den Begriff des Kerns eines Morphismus <math>f</math>, dieser ist als Differenzkern des Paares <math>(f, 0)</math> definiert.

Nullmorphismen erlauben auch die Konstruktion eines kanonischen Pfeils aus einem Koprodukt in das entsprechende Produkt.

Literatur

• Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, Mannheim-Wien-Zürich 1973, [[Spezial:ISBN-Suche/{{#if:trim|3-411-014420-2}}|ISBN {{#if:trim|3-411-014420-2}}]], Kapitel I, Absatz 3.3: Nullobjekte und Nullmorphismen.