Jackknife-Methode

Die {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} (englisch für ‚Taschenmesser‘) ist in der Statistik eine Methode des Resampling. Jackknife dient dazu, den zufälligen Fehler einer Schätzmethode und eine etwaige Verzerrung (engl. {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}) zu schätzen. Aus Überlegungen zur Verbesserung der Jackknife-Methode entstand das Bootstrapping-Verfahren. Die Jackknife-Methode wurde 1956 bzw. 1958 zuerst von M. H. Quenouille und John W. Tukey veröffentlicht<ref>M. H. Quenouille: Notes on bias in estimation. Biometrika, 43, S. 353ff (1956)</ref><ref>J. W. Tukey: Bias and confidence in not quite large samples. Annls. Math. Stat. 29, S. 614 (1958)</ref>. Der Name soll die allgemeine Einsetzbarkeit der Methode für statistische Zwecke betonen.

Methode

Häufig wird Jackknife mit {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} gleichgesetzt. Dabei wird aus der ursprünglichen Stichprobe <math>x_1 \dots x_N</math> jeweils ein Wert weggelassen und der Schätzer für diese reduzierte Stichprobe berechnet. Wird aus der ursprünglichen Stichprobe nicht nur ein Wert weggelassen, sondern d viele, so spricht man von delete-d Jackknife. Durch das Weglassen von <math>d</math> von insgesamt <math>N</math> Werten, können <math>\binom{N}{d}</math> unterschiedliche reduzierte Stichproben erzeugt werden, die <math>N-d</math> viele Werte haben.

Der Stichprobenmittelwert der ursprünglichen Stichprobe sei <math>\hat A = \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N} x_k</math>. Im Folgenden wird die Delete-1-Jackknife-Methode beschrieben. Der Mittelwert der reduzierten Jackknife-Stichprobe <math>i</math>, welche durch Streichen des Wertes <math>X_i</math> entsteht, sei:

Dann ist der Mittelwert über alle Jackknife-Stichproben gegeben durch:

<math>A_{(*)}:=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} A_{(i)}</math>.

Die Varianz des Stichprobenmittelwertes kann durch folgende Formel abgeschätzt werden:<ref>Bradley Efron, Charles Stein: The Jackknife Estimate of Variance. The Annals of Statistics, 9(3), S. 586–596 (1981)</ref>

<math>\operatorname{Var}(\overline{x})=\frac{N-1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left( A_{(i)}-{A}_{(*)} \right)^2</math>.

Die Jackknife-Methode liefert für die Verzerrung der Schätzfunktion <math>\hat{A}</math> den geschätzten Wert:

<math>\widehat{\text{bias}}_\mathrm{(A)}:= (N-1)({A}_{(*)}-\hat A)</math>

und somit ist der um die Verzerrung korrigierte Wert

<math>\hat{A}_{\text{jack}}=\hat{A} - \widehat{\text{bias}}_\mathrm{A}=N\hat{A} - (N-1)\hat{A}_\mathrm{(*)}</math>

Literatur

Joseph Lee Rodgers: The Bootstrap, the Jackknife, and the Randomization Test: A Sampling Taxonomy. Multivariate Behavioral Research, 34, Nr. 4 S. 441ff (1999)

Einzelnachweise