Jacobi-Matrix
{{#if: beschäftigt sich mit Jacobi-Matrizen in der Analysis; zu Jacobi-Matrizen in der Operatortheorie siehe Jacobi-Operator.
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}} Die Jacobi-Matrix (benannt nach Carl Gustav Jacob Jacobi; auch Funktionalmatrix, Ableitungsmatrix oder Jacobische genannt) einer differenzierbaren Funktion <math>f\colon {\mathbb{R}^n} \to {\mathbb{R}^m} \,\!</math> ist die <math>m \times n</math>-Matrix sämtlicher erster partieller Ableitungen. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit bildet sie die Matrix-Darstellung der als lineare Abbildung aufgefassten ersten Ableitung der Funktion <math>f</math> bezüglich der Standardbasen des <math>\R^n</math> und des <math>\R^m</math>.
Genutzt wird die Jacobi-Matrix zum Beispiel zur annähernden Berechnung (Approximation) oder Minimierung mehrdimensionaler Funktionen in der Mathematik.
Definition
Sei <math>f\colon U \subset \R^n \to \R^m</math> eine Funktion, deren Komponentenfunktionen mit <math>f_1 , \ldots, f_m</math> bezeichnet seien und deren partielle Ableitungen alle existieren sollen. Für einen Raumpunkt <math>x</math> im Urbildraum <math>\R^n</math> seien <math>x_1, \dots, x_n</math> die jeweils zugehörigen Koordinaten.
Dann ist für <math>a \in U</math> die Jacobi-Matrix im Punkt <math>a</math> definiert durch
- <math>J_f(a) := \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{i=1,\ldots,m;\ j=1,\ldots,n} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (a) \end{pmatrix}</math>.
In den Zeilen der Jacobi-Matrix stehen also gerade die (transponierten) Gradienten der Komponentenfunktionen <math>f_1, \dots, f_m</math> von <math>f</math>.
Andere übliche Schreibweisen für die Jacobi-Matrix <math>J_f(a)</math> von <math>f</math> an der Stelle <math>a</math> sind <math>Df(a)</math>, <math>\frac{\partial f}{\partial x}(a)</math> und <math>\textstyle\frac{\partial(f_1, \ldots, f_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}(a)</math>.
Beispiel
Die Funktion <math>
f\colon \R^3 \to \R^2
</math> sei gegeben durch
- <math>
f(x,y,z) = \binom{x^2 + y^2 + z \cdot \sin x}{z^2 + z \cdot \sin y}
</math>
Dann ist
- <math>\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) &= \binom{2x + z \cdot \cos x}{0} \\
\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) &= \binom{2y}{z \cdot \cos y} \\
\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) &= \binom{\sin x}{2z + \sin y} \end{align}</math>
und damit die Jacobi-Matrix
- <math>
J_f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc}
2x + z \cdot \cos x & 2y & \sin x \\
0 & z \cdot \cos y \, & 2z + \sin y
\end{array} \right ) </math>
Anwendungen
- Ist die Funktion <math>f \colon U \subset \R^n \to \R^m</math> total differenzierbar, dann ist ihr totales Differential <math>Df_a</math> an der Stelle <math>a = (a_1, \dots, a_n) \in U</math> die lineare Abbildung
- <math>Df_a \colon \R^n \to \R^m, \quad Df_a(h) = J_f(a) \cdot h</math>.
- Die Jacobi-Matrix an der Stelle <math>a</math> ist also die Abbildungsmatrix von <math>Df_a</math>.
- Für <math>m = 1</math> entspricht die Jacobi-Matrix dem transponierten Gradienten von <math>f</math>. Manchmal wird der Gradient auch als Zeilenvektor definiert. In diesem Fall sind Gradient und Jacobi-Matrix gleich.
- Die Jacobi-Matrix kann, wenn man sie für eine Stelle <math>a = (a_1,\dots,a_n)</math> ausrechnet, zur Näherung der Funktionswerte von <math>f</math> in der Nähe von <math>a</math> verwendet werden:
- <math style="margin-left:2em">
f(x) \approx f(a) + J_f(a) \cdot (x - a).
</math>
- Diese affine Abbildung entspricht der Taylor-Approximation erster Ordnung (Linearisierung).
- Die Fortpflanzung von Messfehlern in Form einer Kovarianzmatrix geschieht durch die Jacobi-Matrix: <math>V_f = J\cdot V_x\cdot J^{\text{T}}</math>
Determinante der Jacobi-Matrix
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Sei <math>m=n</math>, es wird also eine differenzierbare Funktion <math>f \colon U \subset \R^n \to \R^n</math> betrachtet. Dann ist deren Jacobi-Matrix <math>J_f(a)</math> am Punkt <math>a \in U</math> eine quadratische <math>n \times n</math>-Matrix. In diesem Fall kann man die Determinante der Jacobi-Matrix <math>\det(J_f(a))</math> bestimmen. Die Determinante der Jacobi-Matrix wird Jacobi-Determinante oder Funktionaldeterminante genannt. Ist die Jacobi-Determinante im Punkt <math>a</math> ungleich null, so ist die Funktion <math>f</math> in einer Umgebung von <math>a</math> invertierbar. Dies besagt der Satz von der Umkehrabbildung. Außerdem spielt die Jacobi-Determinante eine wichtige Rolle beim Transformationssatz für Integrale. Ist <math>m \neq n</math>, so kann man definitionsgemäß keine Determinante der <math>m \times n</math>-Jacobi-Matrix bilden. Jedoch gibt es in diesem Fall ein ähnliches Konzept. Dieses wird Gramsche Determinante genannt.
Jacobi-Matrix einer holomorphen Funktion
Neben Funktionen <math>f\colon U \subset \R^n \to \R^m</math> kann man auch Funktionen <math>h\colon V \subset \Complex^n \to \Complex^m</math> auf (komplexe) Differenzierbarkeit untersuchen. Funktionen, die komplex differenzierbar sind, werden holomorph genannt, denn sie haben andere Eigenschaften als die (reell) differenzierbaren Funktionen. Auch für die holomorphe Funktion <math>h := (h_1, \ldots , h_m)\colon V \subset \Complex^n \to \Complex^m</math> kann man Jacobi-Matrizen bestimmen. Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine <math>m \times n</math> mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine <math>2m \times 2n </math>-Matrix mit reellwertigen Einträgen. Die <math>m \times n</math>-Jacobi-Matrix <math>J_h^\Complex(z)</math> am Punkt <math>z := (z_1, \ldots , z_n) \in V \subset \Complex^n</math> ist durch
- <math>J_h^\Complex(z) := \begin{pmatrix}
\frac{\partial h_1(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_1(z)}{\partial z_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_1} & \cdots & \frac{\partial h_m(z)}{\partial z_n} \end{pmatrix}</math> definiert.
Jede komplexwertige Funktion kann in zwei reellwertige Funktionen aufgespalten werden. Das heißt, es existieren Funktionen <math>u,v \colon \Complex^n \to \R^m</math>, sodass <math>h = u + i v</math> gilt. Die Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> kann man nun wieder gewöhnlich partiell differenzieren und in einer Matrix anordnen. Seien <math>z := (z_1, \ldots , z_n)</math> die Koordinaten in <math>\Complex^n</math> und setze <math>z_j := x_j + i y_j</math> für alle <math>j</math>. Die <math>2m \times 2n </math>-Jacobi-Matrix <math>J_h^\R(z)</math> der holomorphen Funktion <math>h</math> am Punkt <math>z \in V</math> ist dann definiert durch
- <math>J_h^\R(z) := \begin{pmatrix}
\frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial u_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial u_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial u_m(z)}{\partial y_n}\\ \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_1 (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_1(z)}{\partial y_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial v_m (z)}{\partial x_n} & \frac{\partial v_m (z)}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial v_m(z)}{\partial y_n} \end{pmatrix}</math>.
Gilt bei den Jacobi-Matrizen für holomorphe Funktionen <math>m = n</math>, so kann man natürlich die Determinanten der beiden Matrizen betrachten. Diese beiden Determinanten stehen in Beziehung zueinander. Es gilt nämlich
- <math>\det\left(J_h^\R(z)\right) = \left|\det(J_h^\Complex(z))\right|^2</math>.
Siehe auch
Literatur
- Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8. (für Jacobi-Matrizen reeller Funktionen).
- Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, ISBN 0-387-95395-7. (S. 30–31; für Jacobi-Matrizen holomorpher Funktionen).