K-Funktion
Die <math>K</math>-Funktion ist in der Mathematik eine spezielle Funktion, die üblicherweise mit <math>K(z)</math> bezeichnet wird. Sie verallgemeinert die Hyperfakultät <math>H(n)</math> auf die komplexen Zahlen; analog der komplexen Erweiterung der Fakultätsfunktion zur Gammafunktion.
Die Hyperfakultät einer natürlichen Zahl <math>n</math> ist definiert durch
- <math>H(n)=\prod_{i=1}^n i^i = 1^12^23^34^4\cdots n^n, \qquad n\in\N.</math><ref name="hyper" />
Für die <math>K</math>-Funktion soll nun gelten
- <math>K(n+1)=H(n), \qquad n\in\N,</math>
und sie soll auf den Zahlenbereich der komplexen Zahlen erweitert werden.
Definitionen
Eine mögliche Definition der <math>K</math>-Funktion lautet:
- <math>K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\binom z2+\int\limits_0^{z-1} \ln(\Gamma(t+1))\;\mathrm dt\right],</math>
wobei <math>\tbinom z2</math> für die komplexe Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten und Γ für die Gammafunktion steht.
Eine andere Möglichkeit bietet
- <math>K(z)=\exp\left[\zeta^\prime(-1,z)-\zeta^\prime(-1)\right],</math>
wobei <math>\zeta (z)</math> für die riemannsche Zetafunktion und <math>\zeta (a,z)</math> für die hurwitzsche Zeta-Funktion stehen (es werden jeweils die Ableitungen gebraucht.)
Die Verwandtschaft der <math>K</math>-Funktion zur Gammafunktion und der barnesschen <math>G</math>-Funktion wird durch die Formel
- <math>K(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{G(n)}</math>
zum Ausdruck gebracht.
Werte
Für natürliche <math>n</math> stimmen die Werte <math>K(n)</math> der K-Funktion definitionsgemäß mit dem Wert <math>H(n-1)</math> der Hyperfakultätsfunktion überein. Die ersten dieser Werte sind
Der Wert <math>K(\tfrac12 )</math> ist explizit gegeben durch
- <math>K(\tfrac12 )=\frac{A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}</math><ref name="hyper" /> = 1,2451432494…<ref name="wolfram" />
wobei <math>A</math> für die Konstante von Glaisher-Kinkelin steht.
Weitere Zusammenhänge
Mit der barnesschen G-Funktion <math>G(z)</math> gilt
- <math>K(z)\cdot G(z) = \exp\left\{(z-1)\cdot \log [\Gamma (z)]\right\},</math><ref name="hyper" />
für alle <math>z\in\Complex.</math>
Benoit Cloitre zeigte 2003 folgende Formel:
- <math>\frac{1}{K(n)} = (-1)^n \operatorname{det}
\begin{vmatrix} -1&-1&-1&\cdots&-1\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & \cdots & \frac{1}{2^n}\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{27} & \cdots & -\frac{1}{3^n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \frac{(-1)^n}{n} & \frac{(-1)^n}{n^2} & \frac{(-1)^n}{n^3} & \cdots & \frac{(-1)^n}{n^n}\\ \end{vmatrix}</math>.
Einzelnachweise
<references> <ref name="hyper"> {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Hyperfactorial. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }} </ref> <ref name="wolfram"> https://www.wolframalpha.com/input/?i=K-Function(1/2) </ref> </references>
Literatur
- Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 18, S. 122–138 (Göttinger Digitalisierungszentrum)
Weblinks
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: K-Funktion. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}