Kodimension
Die Kodimension bezeichnet in verschiedenen Bereichen der Mathematik das Komplement zur Dimension. Also ist im <math>n</math>-dimensionalen Raum die Summe aus Dimension und Kodimension eines Objektes gleich <math>n.</math> Im dreidimensionalen Raum hat damit eine Fläche (Dimension: 2) die Kodimension 1, eine Gerade (Dimension: 1) die Kodimension 2 und ein Punkt (Dimension: 0) die Kodimension 3.
Definition
Ist <math>V</math> ein Vektorraum über einem beliebigen Körper und ist <math>U</math> ein Untervektorraum von <math>V</math>, dann wird die Kodimension von <math>U</math> in <math>V</math> durch
- <math>\operatorname{codim}(U,V) = \dim ( V / U ),</math>
also als die Dimension des Faktorraums <math>V/U</math>, definiert.
Eigenschaften
- Es gilt stets
- <math>\dim U+\operatorname{codim}(U,V)=\dim V.</math>
- Ist <math>V</math> endlichdimensional, so ist also
- <math>\operatorname{codim}(U,V)=\dim V-\dim U.</math>
- Ist <math>W</math> ein Komplementärraum von <math>U</math> in <math>V</math>, d. h. <math>U \oplus W = V</math>, so ist
- <math>\operatorname{codim}(U,V)=\dim W.</math>
- Sind <math>U_1,U_2\subseteq V</math> zwei Unterräume, so gilt stets
- <math>\operatorname{codim}(U_1\cap U_2,V) \leq \operatorname{codim}(U_1,V)+\operatorname{codim}(U_2,V).</math>
- Sind <math>U,W\subseteq V</math> Unterräume, so gilt
- <math>\operatorname{codim}(U\cap W,W)=\operatorname{codim}(U,U+W)\leq\operatorname{codim}(U,V).</math>
Beispiele
Eine Ebene hat die Dimension 2. In einem dreidimensionalen Raum hat sie die Kodimension 1 und in einem vierdimensionalen Raum die Kodimension 2. Ein Punkt hat in einer Geraden die Kodimension 1 und in einer Ebene die Kodimension 2. Eine Hyperebene hat immer die Kodimension 1, die Dimension der Hyperebene ist immer um 1 kleiner als die Dimension des umgebenden Raums.
Literatur
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