Kreissektor

Ein Kreissektor mit Mittelpunktswinkel <math>\theta</math> und Radius <math>r</math>

Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt) ist in der Geometrie die Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen und zwei Kreisradien begrenzt wird. Er sieht aus wie ein von oben betrachtetes Tortenstück. Eine frühe Definition von Kreissektoren findet sich in Euklids Elementen (ca. 300 v. Chr.).<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Ein Kreissektor ist eindeutig bestimmt durch seinen Radius <math>r</math> und seinen Mittelpunktswinkel <math>\theta</math>, der dem Kreisbogen gegenüberliegt und meistens im Gradmaß oder in Bogenmaß gemessen wird.

Formeln zum Kreissektor	im Gradmaß	im Bogenmaß
Länge des Kreisbogens	<math>2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}</math>	<math>r \cdot \theta</math>
Umfang	<math>2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ} + 2r</math>	<math>r\cdot \theta + 2 r</math>
Flächeninhalt	<math> \pi r^2 \cdot \frac{\theta}{360^\circ} </math>	<math>\frac{1}{2}{r^2 \cdot \theta}</math>

Länge des Kreisbogens

Die Bogenlänge <math>L_\theta</math> eines Kreissektors mit Mittelpunktswinkel <math>\theta</math> lässt sich mithilfe der Länge des gesamten Kreislinie <math>L</math> berechnen. Da nämlich die Länge des Kreisbogens proportional zum Mittelpunktswinkel ist, ergibt sich die Verhältnisgleichung <math>L_\theta : L = \theta : 360^\circ</math>. Mit der Länge <math>L = 2 \pi r</math> für die Kreislinie eines Kreises mit Radius <math>r</math> erhält man hieraus

<math>L_\theta = 2\pi r \cdot \frac{\theta}{360^\circ}</math>.

Falls der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß gemessen wird, so erhält man die entsprechende Formel durch die Umrechnung <math>360^\circ = 2 \pi</math>:

<math>L_\theta = r \cdot \theta</math>.

Flächeninhalt

Auch der Flächeninhalt <math>A_\theta</math> eines Kreissektors lässt sich mithilfe einer Proportionalität bei bekannter Kreisfläche <math>A</math> bestimmen: Aus der Verhältnisgleichung <math>A_\theta : A = \theta : 360^\circ</math>und <math>A = \pi r^2</math> folgt durch Umstellen<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

<math>A_\theta = \pi r^2 \frac{\theta}{360^\circ}</math>.

Durch die Umrechnung <math>360^\circ = 2 \pi</math> erhält man hieraus die entsprechende Formel für Winkel im Bogenmaß:

<math>A_\theta = \frac{1}{2} r^2\theta</math>.

Ohne die Formel für die Kreisfläche vorauszusetzen, kann der Flächeninhalt eines Kreissektors mithilfe einer Integration in Polarkoordinaten hergeleitet werden:

<math>A_\theta = \int_0^\theta\int_0^r \mathrm dA = \int_0^\theta\int_0^r \tilde{r}\, \mathrm d\tilde{r}\, \mathrm d\tilde{\theta} = \int_0^\theta \frac12 r^2\, \mathrm d\tilde{\theta} = \frac{r^2 \theta}{2}</math>.

Siehe auch

Weblinks

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{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Kreissektor. In: MathWorld (englisch). {{#if: CircularSector | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | CircularSector | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Rechner für interaktive Kreissektorsberechnungen

Einzelnachweise