Kriterium von Dirichlet

Das Kriterium von Dirichlet ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für Reihen. Es gehört zur Gruppe der direkten Kriterien.

Dirichlet-Kriterium für Konvergenz

Kriterium

Die Reihe

<math>\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k b_k</math>

mit <math>a_k \in\mathbb{R}, b_k \in \mathbb{C} </math> konvergiert, wenn <math>(a_k)_{k\in \N}</math> eine monoton fallende Nullfolge ist und die Folge <math>(B_n)_{n\in\N}</math> der Partialsummen

<math>B_n =\sum\limits_{k=0}^{n} b_k</math>

beschränkt ist.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Beweis

Es gilt (siehe Partielle Summation)

<math>\sum\limits_{k=0}^{n+1} a_k b_k = a_{n+1} B_{n+1} + \sum\limits_{k=0}^n B_k (a_k - a_{k+1})</math>.

Der erste Summand konvergiert gegen null, da <math>B_n</math> voraussetzungsgemäß durch eine Konstante <math>M</math> beschränkt ist und <math>a_n</math> gegen null konvergiert. Der zweite Summand konvergiert sogar absolut, denn <math>a_k - a_{k+1} \geq 0</math> für alle <math>k</math> und damit

<math>\sum\limits_{k=0}^n \left|B_k (a_k - a_{k+1})\right| \leq \sum\limits_{k=0}^n M(a_k - a_{k+1}) = M(a_0 - a_{n+1}) \rightarrow Ma_0</math>.

Damit ist alles gezeigt.

Dirichlet-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz

Die Reihe

<math>\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x) b_k(x)</math>

ist im Intervall <math>J</math> gleichmäßig konvergent, wenn dort die Partialsummen der Reihe <math>\textstyle \sum b_k(x)</math> gleichmäßig beschränkt sind und wenn dort die Folge <math>(a_k(x))</math> gleichmäßig gegen null konvergiert, und zwar für jedes feste <math>x</math> monoton.<ref>{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}</ref>

Siehe auch

Kriterium von Abel
Leibniz-Kriterium (behandelt den Spezialfall <math>b_k=(-1)^k</math>)

Einzelnachweise