Kugelsegment
Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein Teil einer Kugel, der durch den Schnitt mit einer Ebene abgetrennt wird. Die kreisförmige Schnittfläche ist seine Grundfläche. Ein Kugelsegment ist ein Sonderfall einer Kugelschicht, bei der die Höhe bis an die Kugeloberfläche heranreicht. Eine Halbkugel ist wiederum ein Sonderfall eines Kugelsegments, bei der die Schnittebene den Kugelmittelpunkt enthält. Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkalotte, auch Kugelkappe oder Kugelhaube genannt.<ref>Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie (2009)</ref>
Formeln
Für die Berechnung von Volumen, Mantelfläche und Oberfläche eines Kugelsegments gelten die folgenden Formeln. Dabei bezeichnet <math>r</math> den Radius der Kugel, <math>a</math> den Radius des Basiskreises des Kugelsegments und <math>h</math> die Höhe des Kugelsegments.
Diese drei Größen sind nicht unabhängig voneinander. Das Kugelsegment ist durch zwei beliebige dieser drei Größen bestimmt. Aus zwei der drei Größen lässt sich die dritte nach dem Satz des Pythagoras berechnen
- <math>(r - h)^2 + a^2 = r^2</math>, bzw. <math>2 r h = a^2 + h^2</math>
In den folgenden Formeln ist bei ± Minus zu nehmen, wenn das Kugelsegment weniger als die halbe Kugel groß ist, sonst Plus.
- <math>h = r \pm \sqrt{r^2 - a^2}</math>
- <math>h^2 = 2 r \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2}) - a^2</math>
Statt <math>a</math> und <math>h</math> reicht auch die Angabe des Winkels <math>\theta_0</math> des Basiskreises (siehe Abbildung). Es gilt:
- <math>a = r \, \sin\theta_0</math>
- <math>h = r \, (1 - \cos\theta_0)</math>
Es gibt deshalb jeweils mehrere Formeln, je nachdem, welche der Größen gegeben sind.
| Volumen | <math>V_{r,h} = \frac{\pi}{3} h^2 \, (3r - h)</math> |
| <math>V_{h,a} = \frac{\pi}{6} h \, (3 a^2 + h^2)</math> | |
| <math>V_{r,a} = \frac{\pi}{3} \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2}) \, \left(a^2 + r \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2})\right)</math> | |
| <math>V_{r,\theta_0} = \frac{\pi}{3} \, r^3 \, (2 + \cos\theta_0) \, (1 - \cos\theta_0)^2</math> | |
| Flächeninhalt der Oberfläche Anteil der Basisfläche <math> = \pi a^2 </math> |
<math>O_{r,h,a} = \pi \, (2rh + a^2)</math> |
| <math>O_{r,h} = \pi \, h (4r - h)</math> | |
| <math>O_{h,a} = \pi \, (2a^2 + h^2)</math> | |
| <math>O_{r,a} = \pi \left(a^2 + 2 r \, (r \pm \sqrt{r^2 - a^2})\right)</math> | |
| <math>O_{r,\theta_0} = 2 \pi \, r^2 \, (1 - \cos\theta_0 + \tfrac{1}{2}\sin^2\theta_0)</math> | |
| Flächeninhalt der Mantelfläche |
<math>M_{r,h} = 2 \pi \, r h</math> |
| <math>M_{h,a} = \pi \, (a^2 + h^2)</math> | |
| <math>M_{r,a} = 2 \pi \, r \, \left(r \pm \sqrt{r^2 - a^2}\right)</math> | |
| <math>M_{r,\theta_0} = 2 \pi \, r^2 \, (1 - \cos\theta_0)</math> |
Sonderfälle
Für <math>h = r</math> ist <math>a = r</math> und das Kugelsegment eine Halbkugel: <math>V = \tfrac{2 \pi}{3} r^3, \ M = 2 \pi r^2,\ O = 3 \pi r^2.</math>
Für <math>h = 2 r</math> ist <math>a = 0</math> und das Kugelsegment ist eine ganze Kugel: <math>V = \tfrac{4 \pi}{3} r^3, \ M = O = 4 \pi r^2.</math>
Herleitung
Nach dem Satz des Pythagoras gilt: <math>(r - h)^2 + a^2 = r^2</math>. Auflösen der Klammer liefert:
- <math> 2 r h = a^2 + h^2</math>.
Das Volumen eines Kugelsegments ergibt sich aus dem Volumenintegral für Rotationskörper für den Kreisbogen <math>y = f(x) = \sqrt{r^2 - (x-r)^2} = \sqrt{2 r x - x^2}</math>:
- <math>V = \pi \int\limits_{0}^{h} f(x)^2 \,dx = \pi \int\limits_{0}^{h} 2rx - x^2 \, dx = \frac{\pi \, h^2}{3} \, (3r - h)</math>.
Entsprechend ergibt sich die Mantelfläche eines Kugelsegments (ohne Basiskreis) aus der Flächenformel für Rotationsflächen
- <math>M = 2 \pi \int\limits_{0}^{h} f(x) \sqrt {1 + f'(x)^2} \, dx = 2 \pi \, r \int\limits_{0}^{h} dx = 2 \pi \, r h</math> .
Und mit Basiskreis: <math>O = \pi \, (2 r h + a^2) = \pi \, (2 a^2 + h^2)</math>.
Höherdimensionale euklidische Räume
Eine Kalotte im n-dimensionalen Raum hat Volumen und Mantelfläche<ref name="S-Li">{{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}{{#if:
| {{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Toter Link/archivebot
| Vorlage:Webarchiv/archiv-bot
}}
}}{{#invoke:TemplatePar|check
|all = title=
|opt = vauthors= author= author1= authorlink= author-link= author-link1= author1-link= author2= author3= author4= author5= author6= author7= author8= author9= editor= last= first= last1= first1= last2= first2= last3= first3= last4= first4= last5= first5= last6= first6= last7= first7= last8= first8= last9= first9= last10= first10= last11= first11= last12= first12= last13= first13= last14= first14= last15= first15= others= script-title= trans-title= date= year= volume= issue= number= series= page= pages= at= issn= arxiv= bibcode= doi= pmid= pmc= jstor= oclc= id= url= url-status= format= access-date= archive-date= archive-url= archivebot= offline= location= publisher= language= quote= work= journal= newspaper= magazine= periodical= name-list-style= url-access= doi-access= display-authors= via= s2cid= mr= type= citeseerx= accessdate= archivedate= archiveurl= coauthors= month= day= last16= first16= last17= first17= last18= first18= last19= first19= last20= first20= last21= first21= last22= first22= last23= first23= last24= first24= last25= first25= last26= first26= last27= first27= last28= first28= last29= first29= last30= first30= last31= first31=
|cat = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Cite journal
|errNS = 0
|template = Vorlage:Cite journal
|format =
|preview = 1
}}Vorlage:Cite book/URL{{#if: | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: | Vorlage:Cite book/Meldung }}{{#if: Asian Journal of Mathematics and Statistics
|| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}{{#if: Vorlage:Cite book/ParamBool
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}Vorlage:Cite book/Meldung2{{#ifexpr: 0{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:Li|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}}{{#ifeq:^^|^^||+1}} > 1
| Vorlage:Cite book/Meldung
}}</ref>
- <math>V_{cap^n} = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}}\, r^{n}}{\,\Gamma \left ( \frac{n+1}{2} \right )} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n (\theta) \,\mathrm{d}\theta =
\frac{1}{2}V_{n} \, r^n I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right) </math>
- <math>M_{cap^n} =\frac{1}{2}M_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right)</math>
mit
- der Gammafunktion Γ
- dem Vollvolumen <math>V_n</math>
- dem vollen Mantel <math>M_n</math>
- der regularisierten Betafunktion <math>I_{sin^2(\theta_0)}(n/2,1/2) = \tfrac{B(sin^2(\theta_0),n/2,1/2)}{B(n/2,1/2)}</math> mit den Werten <math>2\phi/\pi</math> für n=1, <math>1-\cos(\phi)</math> für n=2, <math>2\phi-\sin(2\phi)/\pi</math> für n=3 und <math>1-3\cos(\phi)/2+\cos^3(\phi)/2</math> für n=4.
Vierdimensionale Kalotte
Eine Kalotte im 4-dimensionalen Raum hat die Mantelfläche
- <math>M_{cap^4} = r^3\pi(2\theta -\sin(2\theta ))</math>
Von Interesse ist hier auch der Rand des Kalottenmantels
- <math>U_{cap^4} = 4a^2\pi</math>
Siehe auch
Weblinks
|X|x= |0|-= |S|s= – Sammlung von Bildern |1|= – Sammlung von Bildern{{#if:
| {{#switch: {{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}/{{#invoke:TemplUtl|faculty|1}}
|1/= und Videos
|1/1=, Videos und Audiodateien
|/1= und Audiodateien}}
| , Videos und Audiodateien
}}
|#default= – }}{{#if: Spherical caps
| {{#ifeq: {{#invoke:Str|left|spherical caps|9}}
| category:
| FEHLER: Ohne Category: angeben!}}}}Vorlage:Wikidata-Registrierung
- {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Spherical Cap. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
Einzelnachweise
<references />
Literatur
- Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 252.
- Kleine Enzyklopädie Mathematik, Harri Deutsch-Verlag, 1977, S. 215.