Zum Inhalt springen

Lambert-Reihe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}</math>

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit <math>a_n = 1</math> für alle Werte n:

<math>L(q)=\sum_{n=1}^\infty \frac {q^n}{1-q^n}</math>

Eigenschaften

Konvergenz

Für <math>|q| = 1</math> konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für <math>|q| \neq 1</math> konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergiert. Konvergiert <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n</math> nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle <math>q</math>, für die die Potenzreihe <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n q^n</math> konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

Die Lambert-Reihe kann für <math>|q| < 1</math> in eine geometrische Reihe

<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m</math>

entwickelt werden, wobei sich die Koeffizienten <math>b_m</math> der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von <math>a_n</math> mit der konstanten Folge <math>1_{(n)} = 1</math> ergeben:

<math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n</math>

Alternative Form

Setzt man <math>q=e^{-z}</math>, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac {a_n}{e^{zn}-1}= \sum_{m=1}^\infty b_m e^{-mz},</math>

wieder mit

<math>b_m = (a*1)(m) = \sum_{n\mid m} a_n.</math>

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit <math>z=2\pi</math>, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.<ref>{{#if:2023-04-02|{{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}| |}}}}{{#if:Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein|Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: }}{{#if:https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7C{{#if:Pi and the AGM|[{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivURL|1={{#invoke:URLutil|getNormalized|1=https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf}}}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=Pi and the AGM}}]{{#if:| ({{{format}}})}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}|{{#if:http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7C{{#if:{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7Cja}}%7C{{#invoke:Vorlage:Internetquelle%7CTitelFormat%7Ctitel={{#invoke:WLink%7CgetEscapedTitle%7C1=Pi and the AGM}}}}|[{{#invoke:URLutil|getNormalized|1=http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf}} {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel={{#invoke:WLink|getEscapedTitle|1=Pi and the AGM}}}}]}}{{#if:| ({{{format}}}{{#if:jawayback.cecm.sfu.cahttps://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf{{#if: 2023-05-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}} 

          | )
          | {{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}| ; 
              | )}}}}}}{{#if:| {{{titelerg}}}{{#invoke:Vorlage:Internetquelle|Endpunkt|titel={{{titelerg}}}}}}}}}}}{{#if:http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7C{{#if:{{#invoke:URLutil%7CisResourceURL%7C1=http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf}}%7C%7C}}}}{{#if:Pi and the AGM|{{#if:{{#invoke:WLink|isValidLinktext|1=Pi and the AGM|lines=0}}||}}}}{{#if: wayback.cecm.sfu.ca| In: {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|TitelFormat|titel=wayback.cecm.sfu.ca}}}}{{#if: | {{{hrsg}}}{{#if: https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7C,%7C{{#if: 2023-05-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | {{#if:{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|noerror=1}}
            |{{#invoke:DateTime|format|{{{datum}}}|T._Monat JJJJ}}
            |{{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, datum={{{datum}}}|class=Zitationswartung}} }}{{#if: https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7C,%7C{{#if: 2023-05-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: | S. {{{seiten}}}{{#if: https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7C,%7C{{#if: 2023-05-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|;|,}}}}}}}}{{#if: https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7Cja}}%7C+{{#if:%7C{{#if:https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7Carchiviert%7Cehemals}}%7C{{#if:https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7CArchiviert%7CEhemals}}}}+{{#if:https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7Cvom%7Cim}}+Vorlage:Referrer{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|ja}}| (nicht mehr online verfügbar)}}{{#if: 2023-04-02| am {{#iferror: {{#iferror:{{#invoke:Vorlage:FormatDate|Execute}}|}}|2023-04-02{{#if:2104726||(?)}}}}}}{{#if: 2023-05-12|;}}}}{{#if: 2023-05-12| {{#if:https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf{{#invoke:TemplUtl%7Cfaculty%7Cja}}%7Cabgerufen%7CAbgerufen}} {{#switch: {{#invoke:Str|len| {{#invoke:DateTime|format| 2023-05-12 |ISO|noerror=1}} }}
       |4=im Jahr
       |7=im
       |10=am
       |#default={{#invoke:TemplUtl|failure|1=Fehler bei Vorlage:Internetquelle, abruf=2023-05-12|class=Zitationswartung}} }} {{#invoke:DateTime|format|2023-05-12|T._Monat JJJJ}}
    | {{#invoke:TemplUtl|failure|1=Vorlage:Internetquelle | abruf=2026-MM-TT ist Pflichtparameter}} }}{{#if:{{#ifeq:de|de||{{#if:|1}}}}|{{#if:jawayback.cecm.sfu.cahttps://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf{{#if: 2023-05-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}}}}
       |  (
       | {{#if: | |  (}}
       }}{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||
          {{#invoke:Multilingual|format|{{{sprache}}}|slang=!|split=[%s,]+|shift=m|separator=, }}}}{{#if: |{{#ifeq:{{#if:de|de|de}}|de||, }}{{{kommentar}}}}})}}{{#if: https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf{{#if: 2023-05-12 | {{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|}}||1}} }}|{{#if: |: {{
 #if: 
 | „{{
     #ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | Vorlage:Str trim
     | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
     }}“
 | {{#ifeq: {{#if:{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|{{#if: {{#invoke:templutl|faculty|}}|de-ch|de}}|de}} | de
     | „Vorlage:Str trim“
     | {{#invoke:Text|quote
         |1={{#if: 
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}}
              | {{#invoke:Vorlage:lang|flat}} }}
         |2={{#if: {{#invoke:TemplUtl|faculty|}}|de-CH|de}}
         |3=1}} }}

}}{{#if: 

   |  (<templatestyles src="Person/styles.css" />{{#if:  | :  }}{{#if:  | , deutsch: „“ }})
   | {{#if: 
       |  ({{#if:  | , deutsch: „“ }})
       | {{#if:  |  (deutsch: „“) }}
 }}

}}{{#if: {{{zitat}}} 

   | {{#if: 
       | {{#if: {{{zitat}}}
           | Vorlage:": Text= und 1= gleichzeitig, bzw. Pipe zu viel }} }}
   | Vorlage:": Text= fehlt }}{{#if:  | {{#if: {{#invoke:Text|unstrip|{{{ref}}}}}
             | Vorlage:": Ungültiger Wert: ref=
             | {{{ref}}} }}

}}|.{{#if:{{#invoke:TemplUtl|faculty|ja}}|{{#if:https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7C%7C{{#ifeq: ja | JaKeinHinweis |{{#switch: 

   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
       | {{#if:  | [1] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 
           | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 
            | {{#if: deadurlausgeblendet | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: deadurl
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf }}|{{#switch: 
   |0|=Vorlage:Toter Link/Core{{#if: http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
       | {{#if:  | [2] }} (Seite {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. Suche im Internet Archive (T)){{#if: 2026-02-18 01:43:28 InternetArchiveBot
           | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}
       |   (Seite {{#switch:|no|0|=|#default=dauerhaft }}nicht mehr abrufbar{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}.)
     }}{{#switch: 
         |no|0|=
         |#default={{#if:  ||  }}
    }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |opt      = inline= url= text= datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
    }}{{#if: http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
      | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
      | {{#if: 
           | {{#if:  ||  }}
           | {{#if:  ||  }}
        }}
    }}{{#if: 
       | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
         }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}|#default= https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Wikipedia:Defekte_Weblinks&dwl=http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf Die nachstehende Seite ist {{#switch:|no|0|=|dauerhaft }}nicht mehr abrufbar]{{#if:  | , festgestellt im {{#invoke:DateTime|format||F Y}} }}. (Suche im Internet Archive. (T).)  {{#if: 2026-02-18 01:43:28 InternetArchiveBot
            | {{#if:  | | Vorlage:Toter Link/archivebot }}
         }}Vorlage:Toter Link/Core{{#switch: 
          |no|0|=
          |#default= {{#if:  ||  }}
        }}{{#invoke:TemplatePar|check
         |all      = inline= url=
         |opt      = datum= date= archivebot= bot= botlauf= fix-attempted= checked=
         |cat      = Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Toter Link
         |errNS    = 0
         |template = Vorlage:Toter Link
         |format   = 
         |preview  = 1
       }}{{#if: http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
       | {{#if:{{#invoke:URLutil|isWebURL|http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf}}
          || {{#if:  ||  }} 
        }}
    }}{{#if: 
         | {{#if:{{#invoke:DateTime|format||F Y|noerror=1}}
             || {{#if:  ||  }} 
           }}
    }}{{#switch: 
         |checked|deadurl|= 
         |#default=  {{#if:  ||  }}
    }}[http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf }} }}}}}}}}}}{{#if:2026-02-18 01:43:28 InternetArchiveBot|
        {{#invoke:Vorlage:Internetquelle|archivBot|stamp=2026-02-18 01:43:28 InternetArchiveBot|text={{#if:https://web.archive.org/web/20230402114146/http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf%7CVorlage:Webarchiv/archiv-bot}}

}}}}{{#invoke:TemplatePar|check |all= url= titel= |opt= autor= hrsg= format= sprache= titelerg= werk= seiten= datum= abruf= zugriff= abruf-verborgen= archiv-url= archiv-datum= archiv-bot= kommentar= zitat= AT= CH= offline= |cat= {{#ifeq: 0 | 0 | Wikipedia:Vorlagenfehler/Vorlage:Internetquelle}} |template= Vorlage:Internetquelle |format=0 |preview=1 }}</ref><ref>{{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}</ref>

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen (mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt):

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{F_{2n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{5} \ \Phi^{2n}}{\Phi^{4n}-1} = \sqrt{5}\left(L\left(\Phi^{-2}\right)-L\left(\Phi^{-4}\right)\right)</math>

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{P_{2n}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)^{2n}}{\left(\sqrt{2}+1\right)^{4n}-1} = 2\sqrt{2}\left(L\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^2\right)-L\left(\left(\sqrt{2}-1\right)^4\right)\right)</math>

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

<math>E = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} - 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n} + 1}{2^{n^2}\left(2^{n} - 1\right)} = L\left(\frac{1}{2}\right)</math>

Unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der Zweierpotenzen:

<math>\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} + 1} = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(\frac{1}{2^{n} - 1} - \frac{2}{4^{n} - 1}\right) = L\left(\frac{1}{2}\right) - 2L\left(\frac{1}{4}\right)</math>

Siehe auch

Literatur

  • {{#if: | {{{author}}} | Eric W. Weisstein }}: Lambert Series. In: MathWorld (englisch). {{#if: | {{#ifeq: {{#property:P2812}} | {{{id}}} | | {{#if: {{#property:P2812}} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} | {{#ifeq: 0 | 0 | }} }} }} }}
  • {{#invoke:Vorlage:Literatur|f}}
  • Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien.

Einzelnachweise

<references />

Abgerufen von „https://wiki-de.moshellshocker.dns64.de/index.php?title=Lambert-Reihe&oldid=2104726“